Bei c) vielleicht so:
Seien A,B ∈ Kn×n ähnlich, dann gibt es eine reguläre
Matrix S ∈ Kn×n mit B=S−1⋅A⋅S.
Dann genügt zu zeigen, dass für jedes Polynom p ∈ K[X] auch gilt
p(B)=S−1⋅p(A)⋅S. #
Betrachte dazu erst mal ein Polynom von der Form p(X)=a*Xn mit
natürlichem n größer 1 und a∈K.
Dann gilt p(B)=p(S−1⋅A⋅S)=a(S−1⋅A⋅S)n
=a(S−1⋅A⋅S)(S−1⋅A⋅S)…(S−1⋅A⋅S)
Wegen der Assoziativität kann man die Klammern weglassen und entstehen
zwischen durch immer Produkte der Form S−1⋅S=E.
Die kann man also weglassen und es bleibt
p(B)=a(S−1⋅A⋯⋅A⋅S)=aS−1⋅An⋅S
=S−1a⋅An⋅S=S−1⋅p(A)⋅S
Also gilt # jedenfalls für Polynome der Art p(X)=a*Xn .
Dann sei p nun ein Polynom der Art p(X)=a*X+b mit a,b ∈ K
Und es ist wieder B=S−1⋅A⋅S, also
p(B)=a(S−1⋅A⋅S)+b=aS−1⋅A⋅S+b⋅E
=S−1⋅aA⋅S+bS−1⋅S=S−1⋅aA⋅S+S−1b⋅S
=S−1⋅(aA+b)⋅S=S−1⋅p(A)⋅S
Und jedes Polynom ist ja nun eine Summe von Polynomen der
betrachteten Art, also muss man nur noch überlegen, ob sich # auch
auf die Summe zweier solcher Polynome überträgt. Dem ist so, denn aus
B=S−1⋅A⋅S folgt ja dann
p(B)=S−1⋅p(A)⋅S und q(B)=S−1⋅q(A)⋅S.
==> (p+q)(B)=p(B)+q(B)
=S−1⋅p(A)⋅S+S−1⋅q(A)⋅S
=S−1⋅(p(A)⋅S+q(A)⋅S)
=S−1⋅(p(A)+q(A))⋅S=S−1⋅(p+q)(A)⋅S q.e.d.