Bei c) vielleicht so:
Seien A,B ∈ Kn×n ähnlich, dann gibt es eine reguläre
Matrix S ∈ Kn×n mit \( B=S^{-1} \cdot A \cdot S \).
Dann genügt zu zeigen, dass für jedes Polynom p ∈ K[X] auch gilt
\( p(B)=S^{-1} \cdot p(A) \cdot S \). #
Betrachte dazu erst mal ein Polynom von der Form p(X)=a*Xn mit
natürlichem n größer 1 und a∈K.
Dann gilt \( p(B)=p(S^{-1} \cdot A \cdot S)=a(S^{-1} \cdot A \cdot S)^n \)
\( =a(S^{-1} \cdot A \cdot S)(S^{-1} \cdot A \cdot S)\dots(S^{-1} \cdot A \cdot S) \)
Wegen der Assoziativität kann man die Klammern weglassen und entstehen
zwischen durch immer Produkte der Form \( S^{-1} \cdot S = E \).
Die kann man also weglassen und es bleibt
\( p(B) =a(S^{-1} \cdot A \dots \cdot A \cdot S) =a S^{-1}\cdot A^n \cdot S \)
\( = S^{-1} a\cdot A^n \cdot S = S^{-1} \cdot p(A) \cdot S \)
Also gilt # jedenfalls für Polynome der Art p(X)=a*Xn .
Dann sei p nun ein Polynom der Art p(X)=a*X+b mit a,b ∈ K
Und es ist wieder \( B=S^{-1} \cdot A \cdot S \), also
\( p(B)=a(S^{-1} \cdot A \cdot S)+b=aS^{-1} \cdot A \cdot S + b \cdot E \)
\( =S^{-1} \cdot aA \cdot S +b S^{-1} \cdot S =S^{-1} \cdot aA \cdot S + S^{-1}b \cdot S \)
\( =S^{-1} \cdot (aA+b) \cdot S =S^{-1} \cdot p(A) \cdot S \)
Und jedes Polynom ist ja nun eine Summe von Polynomen der
betrachteten Art, also muss man nur noch überlegen, ob sich # auch
auf die Summe zweier solcher Polynome überträgt. Dem ist so, denn aus
\( B=S^{-1} \cdot A \cdot S \) folgt ja dann
\( p(B)=S^{-1} \cdot p(A) \cdot S \) und \( q(B)=S^{-1} \cdot q(A) \cdot S \).
==> \( (p+q)(B)= p(B)+q(B) \)
\( = S^{-1} \cdot p(A) \cdot S +S^{-1} \cdot q(A) \cdot S \)
\( = S^{-1} \cdot ( p(A) \cdot S + q(A) \cdot S) \)
\( = S^{-1} \cdot ( p(A) + q(A) ) \cdot S= S^{-1} \cdot ( p+ q)(A) \cdot S \) q.e.d.
