Dreiecks Umfang berechnen (Kompliziertes Beispiel)

Question

ich bin kürzlich auf eine komplizierte Rechenaufgabe gestoßen, die ich nicht zu lösen vermag, und hätte gehofft hier etwas Hilfe zu bekommen.

Und zwar sollen Fahnenmasten auf 3 Gebäude mit Seilen miteinander verknüpft werden und die Frage ist wieviele Meter Seil für dieses Unterfangen benötigt würden. Ich habe hierfür die folgende Skizze gegeben

 

in der Skizze stellen 2 gleichschenklige (Dreieck I und III) und ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck II) die 3 Gebäude dar, auf denen sich die Fahnenmasten befinden. Auf jedem Gebäude befindet sich jeweils ein Fahnenmasten und zwar genau auf dem Inkreismittelpunkt des jeweiligen Dreiecks.

Um zu wissen wie viel Meter Seil benötigt wird, müsste ich also den Umfang des Dreiecks berechnen, das sich ergibt wenn ich die 3 Inkreismittelpunkte der Dreiecke verbinde.  

Leider hab ich es mit den vorhandenen Angaben noch nicht einmal geschafft die Seitenlänge eines der Dreiecke zu berechnen. wie sich dann die Distanz zwischen den einzelnen Inkreismittelpunkten berechnen lässt bin ich auch noch völlig im Dunkeln. Ich hoffe nun, dass ich hier etwas Hilfe bekommen kann.

und bedanke mich im voraus für jede Unterstützung.

Comments

es tut mir leid, also ich habe o.g. Frage hier eingestellt und übersehen einzutragen, dass nicht nur

AD = BC = 45m sondern auch AB = AD = BC = 45m sind.

mir ist jetzt aber trotzdem nicht klar, wie ich auf die Seitenlängen der restlichen Dreiecke kommen kann.

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auch mit der Vorgabe mit AB hat die Figur immer noch zwei Freiheitsgrade. Zusätzlich habe ich noch angenommen, dass die Basis des obersten Dreiecks auf der Geraden BE steht und die rechte Kathete des rechtwinkligen Dreiecks senkrecht auf BE steht.

Du hast nichts zur Länge der Basis des obersten Dreiecks gesagt und auch nichts über die Strecke BE. Die Figur könnte massstabsgerecht also auch so aussehen:

hat Roland mit seinem Verdacht recht, das es sich beim Fünfeck ADECB um ein regelmäßiges handelt? Darüber hinaus vermute ich, dass die Verlängerung der Schenkel des obersten Dreiecks durch die Punkte A und D gehen. Dann wäre der Scheitelwinkel dieses Dreiecks auch 36°. Ist das richtig?

Gruß Werner

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ich habe nun die Skizze ergänzt. und zwar ist es in der Tat, so, dass die Basis des obersten Dreiecks sich  auf der Strecke FG befindet, und der Winkel bei E der sich durch die Strecken BE u.EH ergibt ist 90°.

Weiters ist die Strecke BF gleich lange wie GE. also ob ABCED ein regelmäßiges 5-Eck ist weiß ich leider nicht.

ich weiß jetzt nicht,  wenn ich zum rechnen anfange, ob es mir weiterhilft dass ich mir die Strecke DC ausrechne, dass dürfte nun gehen, ich habe ja da jetzt ein gleichschenkliges Trapez.

Answer 1

Nach Deinen Angaben fehlt jetzt nur noch die Länge der Seite FG. Aber ADECB ist damit ein regelmäßiges Fünfeck.

Eine Methode, die sicher zum Ziel führt, wäre jetzt die Positionen der 9 Eckpunkte der drei Dreiecke in einem Koordinatensystem zu ermitteln. Ich wähle den Punkt \(O\) als Koordinatenursprung, dann wird es wegen der Symmetrie ein wenig einfacher.

Die Strecke AD sei \(s\). Die Winkel sind alle bekannt - dann ist z.B.: \(A(-\frac{1}{2}s|0)\), \(D(\frac{1}{2}s|0)\) und \(B(-s\left(\frac{1}{2}+\cos({72°}\right))|s\cdot \sin{(72°)})\). Die fehlenden Punkte überlasse ich Dir ... Ich würde mal annehmen, dass der Punkt \(F\) auf der Verbindung AC liegt!

Im nächsten Schritt rechne für jedes Dreieck zunächst die Seitenlängen mit dem Pythagoras aus (soweit nicht schon bekannt) und dann kannst Du die Koordinaten der Inkreise mit dieser Formel  bestimmen. Anschließend die Abstände der Inkreismittelpunkte nach Pythagoras berechnen und deren Summe ist dann die Länge des Seils.

Falls noch Fragen sind, so melde Dich bitte - ich bin wahrscheinlich erst morgen Abend wieder online.

Gute Nacht Werner

Answer 2

Ich vermute, dass die Punkte ABCED ein regelmäßiges 5-Eck bilden. Die Maßangaben in der Skizze sind damit jedenfalls erfüllt.