Warum ist nur die Nullmatrix zur Nullmatrix ähnlich?

Question

ich stecke gerade mitten in der Vorbereitung für die LinA Klausur. Bei einer Aufgabe muss ich, um meine Behauptung zu stützen, zeigen dass nur die Nullmatrix zur Nullmatrix ähnlich ist. Aber wieso ist das so?

Answer 1

Ahnliche Matrizen haben den gleichen Rang.

Rang 0 hat nur die 0-Matrix.

Answer 2

um zu zeigen, dass zwei Matrizen \(A,B\in\mathbb{K}^{m\times n}\) mit \(m,n\in\mathbb{N}\) ähnlich sind, benötigst Du \(rg(A)\) und \(rg(B)\) (also die Ränge der Matrizen). Sei \(A\) die \(m\times n-\)Nullmatrix. Dann ist \(rg(A)=0\). Es gibt in \(\mathbb{K}^{m\times n}\) keine von \(A\) verschiedene Matrix \(B\) mit \(rg(B)=0\). Also ist \(B\) ebenfalls die Nullmatrix. Selbst wenn Du eine Matrix ausschließlich mit Einsen füllst, hast Du den Rang \(1>0\).

Hilft Dir das weiter?

André, savest8