Bildet die Standardbasis(e1, e2,....,en) bezüglich eines beliebigen Skalarproduktes eine orthonormierte Basis

Question

Kann jemand mir sagen ob die folgende Aussage wahr ist:

In R^{n x 1} bildet die Standardbasis(e1, e2,....,en) bezüglich eines beliebigen Skalarproduktes eine orthonormierte Basis

Danke

Answer 1

Nein, denn im Algemeinen induziert jede positiv definite Matrix ein Skalarprodukt. Also für R² definiert Matrix A=2*Id Skalarprodukt durch <x,y >:=x^TAy Dann ist die Länge von e1 √<e1,e1>=√2 nicht mehr normiert.