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Aufgabe Vektorräume und Projektion:

Gegeben sind die drei Vektoren mit \( t \in \mathbb{R} \)

\( \mathrm{a}=\left(\begin{array}{l} t \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \quad \mathrm{b}=\left(\begin{array}{c} 1 / 3 \\ t \\ 1 / 3 \end{array}\right) ; \quad \mathrm{c}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ t \end{array}\right) \)

a) Für welche Werte von \( t \) sind die drei Vektoren linear abhängig?

b) Welche Dimension nat in diesen Fällen der von den Vektoren aufgespannte Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \) ?

c) Berechnen Sie eine orthonormierte Basis dieses Raumes für eines der \( t \) aus a). \( 2 \mathrm{P} \)

d) Berechnen Sie die Projektion der. drei Einheitsvektoren \( \mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2} \) und \( \mathrm{e}_{3} \) auf diese Basis.


Mein bisheriger Ansatz für a und b ist wie folgt:

a.) Für t habe ich 1 durch Gleichsetzen ermittelt.  Das sollte auch stimmen.

b.) Mit dem Bestimmten t=1 habe ich die 3 Vektoren in ein LGS eingesetzt und aufgelöst, um die Dimension des aufgespannten Vektorraumes im R^3 zu ermitteln.

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 / 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 / 3 & 1\end{array}\right) \)

II - 3·I
III - I

\( =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

 1. Zeile ≠ 0

Aber mit meinem ausgerechneten R^1 komme ich nicht weiter :/

Sieht jemand meinen Fehler bzw. hat einen Ansatz wie ich weitermachen kann?

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Du hast bei a) mit t= 1  nur einen der möglichen Fälle berechnet.

Mit deinem t=1, kommst du bei b) auf einen eindimensionalen UVR mit der Basis orthonormierten Basis: 1/(√(1+9+1) (1,3,1) =  (1/√11, 3/√11, 1/√11) = u 

B = {(1/√11, 3/√11, 1/√11) = u }

d) für UVR mit t=1

Projektion( e1 auf u) = (e1*u)*u        | Lies: "Skalarprodukt von e1 mit u wird u multipliziert"

= 1/√11 *(1/√11, 3/√11, 1/√11)        |weil e1 = (1,0,0)

(1/11, 3/11, 1/11) 

Projektion( e2 auf u) = (e2*u)*u        | Lies: "Skalarprodukt von e2 mit u wird u multipliziert"

= 3/√11 *(1/√11, 3/√11, 1/√11)        |weil e2 = (0,1,0)

(3/11, 9/11, 3/11) 

Projektion( e3 auf u) = (e3*u)*u        | Lies: "Skalarprodukt von e3 mit u wird u multipliziert"

= 1/√11 *(1/√11, 3/√11, 1/√11)        |weil e3 = (0,0,1)

(1/11, 3/11, 1/11) 

Nun musst du aber das erst mal nachvollziehen.

Und dann a) nochmals anschauen. Da solltest du noch eine zweite Lösung für t rausbekommen.

Als erster Fall t=1 stimmt aber schon mal.
Vielen Dank für deine Antwort :)

aber ich stell mich zu blöd an, ich komme nicht auf nen anderen Wert für t :/
Bevor du t berechnet hast, hättest du ja drei t in der 1. Hauptdiagonalen.

Du kannst formal die Determinante dieser Matrix ausrechnen und Null setzen:

Det(A) = t^3 + 1 + 1 - t - t -t = t^3 - 3t + 2 = 0

1. Nullstelle hast du ja schon t=1. Nun weiter mit Polynomdivision.

(t ^3           - 3t + 2 ): (t-1) = t^2 + t -2
 t^3 - t^2
------------
         t^2
t^2 - t
        ---------
               -2t

              -2t +2
          __________
                  0

t^2 +t - 2 = 0

t1,2 = 1/2 ( -1 ± √ (1+8))

t1 = 1
t2 = -2

Somit ist das zweite t = -2.

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