Zeige dass B eine Orthonormalbasis von R^2 bezüglich des Std.Skalarproduktes ist.

Question

Hi habe gerade folgende Aufgabe vor mir, und ich verstehe nicht so recht, wie ich vorgehen soll.

Es ist B = {b₁,b₂} = { (1/5)*(3  4)^T, (1/5)*(-4  3)^T } ⊆ ℝ² und  ε die Standardbasis von ℝ².

Φ : ℝ² -> ℝ² ist  die lineare Abbildung, die durch eine Spiegelung an dem Untervektorraum <b₁> von ℝ² gegeben ist.

a) Zeige dass B eine Orthonormalbasis von ℝ² bezüglich des Standardskalarproduktes ist.

b) Bestime die Darstellungsmatrizen M^B_B (Φ) und M^ε_ε⁽Φ) von Φ.

c) Ist M^B_B (Φ) diagonalisierbar?

Comments

Bei a) musst du wohl einfach die Skalarprodukte ausrechnen und die richtigen Resultate bekommen:

b1*b1 = 1, b2*b2 = 1, b1*b2=0 und b2*b1=0. Zu b) und c) hat vielleicht jemand anders einen Vorschlag.

Answer 1

a) Zu zeigen:

<b_j, b_k> = δ_jk

mit dem Kroneckerdelta δ_jk.

<b₁, b₁> = 1/25 (3*3 + 4*4) = 1/25 (25) = 1

<b₂, b₂> = 1/25 ((-4)*(-4) + 3*3) = 25/25 = 1

<b₁, b₂> = 1/25 (3*(-4) + 4*3) = 0

Also ist {b₁, b₂} eine Orthonormalbasis.

b) M^B_B(Φ) ist sehr einfach: spiegelt man einen Vektor an b₁, so bleibt seine Komponente parallel zu b₁ invariant und seine Komponente senkrecht zu b₁ wechselt ihr Vorzeichen.

Die Matrix B besteht aber gerade aus b₁ und seiner senkrechten, also gilt:

$$ M _ { B } ^ { B } ( \Phi ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) $$

Die Matrix in der Basis ε erhältst du nun, indem du die Matrix aus der Basis B mit der Koordinatenwechselmatrix (die aus den Vektoren selbst besteht, weil ε die Einheitsbasis ist) transformierst:

$$ M _ { c } ^ { E } ( \Phi ) = T _ { c } ^ { B } M _ { B } ^ { B } ( \Phi ) T _ { B } ^ { \varepsilon } = \frac { 1 } { 5 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { - 4 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \frac { 1 } { 5 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { 4 } \\ { - 4 } & { 3 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 25 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { - 4 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { - 3 } \end{array} \right) \\ M _ { c } ^ { c } ( \Phi ) = \frac { 1 } { 25 } \left( \begin{array} { c c } { - 7 } & { 24 } \\ { 24 } & { 7 } \end{array} \right) $$

c) Ja, M^B_B liegt sogar bereits in Diagonalform vor. (?)