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Hi habe gerade folgende Aufgabe vor mir, und ich verstehe nicht so recht, wie ich vorgehen soll.

Es ist B = {b1,b2} = { (1/5)*(3  4)^T, (1/5)*(-4  3)^T } ⊆ ℝ2 und  ε die Standardbasis von ℝ2.

Φ : ℝ2 -> ℝ2 ist  die lineare Abbildung, die durch eine Spiegelung an dem Untervektorraum <b1> von ℝ2 gegeben ist.

a) Zeige dass B eine Orthonormalbasis von ℝ2 bezüglich des Standardskalarproduktes ist.

b) Bestime die Darstellungsmatrizen MBB (Φ) und Mεε(Φ) von Φ.

c) Ist MBB (Φ) diagonalisierbar?

von
Bei a) musst du wohl einfach die Skalarprodukte ausrechnen und die richtigen Resultate bekommen:

b1*b1 = 1, b2*b2 = 1, b1*b2=0 und b2*b1=0. Zu b) und c) hat vielleicht jemand anders einen Vorschlag.

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a) Zu zeigen:

<bj, bk> = δjk

mit dem Kroneckerdelta δjk.

<b1, b1> = 1/25 (3*3 + 4*4) = 1/25 (25) = 1

<b2, b2> = 1/25 ((-4)*(-4) + 3*3) = 25/25 = 1

<b1, b2> = 1/25 (3*(-4) + 4*3) = 0

Also ist {b1, b2} eine Orthonormalbasis.

b) MBB(Φ) ist sehr einfach: spiegelt man einen Vektor an b1, so bleibt seine Komponente parallel zu b1 invariant und seine Komponente senkrecht zu b1 wechselt ihr Vorzeichen.

Die Matrix B besteht aber gerade aus b1 und seiner senkrechten, also gilt:

$$ M _ { B } ^ { B } ( \Phi ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) $$

Die Matrix in der Basis ε erhältst du nun, indem du die Matrix aus der Basis B mit der Koordinatenwechselmatrix (die aus den Vektoren selbst besteht, weil ε die Einheitsbasis ist) transformierst:

$$ M _ { c } ^ { E } ( \Phi ) = T _ { c } ^ { B } M _ { B } ^ { B } ( \Phi ) T _ { B } ^ { \varepsilon } = \frac { 1 } { 5 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { - 4 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \frac { 1 } { 5 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { 4 } \\ { - 4 } & { 3 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 25 } \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { - 4 } \\ { 4 } & { 3 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { - 3 } \end{array} \right) \\ M _ { c } ^ { c } ( \Phi ) = \frac { 1 } { 25 } \left( \begin{array} { c c } { - 7 } & { 24 } \\ { 24 } & { 7 } \end{array} \right) $$


c) Ja, MBB liegt sogar bereits in Diagonalform vor. (?)

von 10 k

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