Integration, Substitution mit Rechnenweg.

Question

Ich habe ein kleines Problem beim Verstehen des Rechnenweges der folgendenen Integration.

$$ \int { sin((l-k)x)\quad dx\quad mit\quad l,k\quad \epsilon \quad Z \quad nun\quad setzte\quad ich\quad u\quad =\quad (l-k)x\quad ->\quad \frac { du }{ dx }  } =l-k\\ soweit\quad ist\quad für\quad mich\quad alles\quad verständlich.\\ Nun\quad aber\quad zu\quad meinem\quad Problem:\\ Als\quad Lösung\quad erhalte\quad ich\quad im\quad nächsten\quad Schritt\quad via\quad Integrationsrechner\quad \frac { 1 }{ l-k } *\int { sin(u)\quad du } \quad \\ Ich\quad verstehe\quad jedoch\quad nicht\quad genau,\quad wie\quad ich\quad auf\quad die\quad \frac { 1 }{ l-k } \quad komme. $$

mfg Stanley

Comments

Hat sich erledigt. Manchmal seh ich die einfachsten Dinge nicht.

Answer 1

$$\int { sin((l-k)x)\quad dx } $$

Lösen durch Substitution u = (l-k)x

$$\frac { du }{ dx } =(l-k)\\ \\ dx=\frac { du }{ l-k } \\ \\ \int { sin((l-k)x)\quad dx } =\int { sin(u)\quad \frac { du }{ l-k }  } =\frac { 1 }{ l-k } \int { sin(u)\quad du } \\ \\ \int { sin(u)\quad du } =-cos(u)\quad \\ \\ \frac { 1 }{ l-k } \int { sin(u)\quad du } =\frac { 1 }{ l-k } (-cos(u))=-\frac { cos(u) }{ l-k } \\ \\ $$

Rücksubstitution u = (l-k)x

$$\\ -\frac { cos(u) }{ l-k } =-\frac { cos((l-k)x) }{ l-k } \\ \int { sin((l-k)x)dx } =-\frac { cos((l-k)x) }{ l-k } +C$$

Answer 2

Es gilt immer

$$ \int f \left(ax+b\right) = {1\over a} F \left(ax+b\right) $$

Da ergibt sich primitiv, wenn man die rechte Seite wieder ableitet. Das ist eine Regel, die muss man nicht durch überflüssige Substitutionen aufblasen.