Kombinatorik, Wahrscheinlickkeiten, Binomial

Question

Nabend Liebe Leute,

Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und stehe auf dem Schlauch. Folgende Aufgabe:

Von den 7 Spielern einer Mannschaft  werden nach jedem Spiel zwei Spieler zufällig für die Dopingkontrolle ausgewählt.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei Spielen mindestens einen Spieler gibt der mehr als einmal kontrolliert wird.

b) Der Spieler M sei gedopt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 3 Spielen nicht kontrolliert wird.

Lieben Grüß und vielen Dank für einen Blick!

Answer 1

a) Das Gegenergeignis ist, dass kein Spieler mehr als ein mal kontrolliert wird. Dazu stehen nach dem ersten Spiel \(\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}\) = 21 Paare zur Verfügung, die zur Kontrolle ausgewählt werden können.

Nach dem zweiten Spiel stehen nur noch \(\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) = 10 Paare zur Verfügung, die zur Kontrolle ausgewählt werden können.

Nach dem dritten Spiel stehen nur noch \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) = 3 Paare zur Verfügung, die zur Kontrolle ausgewählt werden können.

Es gibt also 21·10·3 = 630 Möglichkeiten, die Paare so auszuwählen, dass kein Spieler mehr als ein mal kontrolliert wird.

Dem gegenüber stehehen 21³ Möglichkeiten, die drei Paare für die drei Spiele auszuwählen.

b) Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Spiel kontrolliert zu werden, ist 1/7 + 6/7·1/6 = 2/7. Die Wahrscheinlichkeit, nicht kontrolliert zu werden, beträgt also 5/7. Die Wahrscheinlichkeit, in keinem der drei Spiele kontrolliert zu werden, beträgt also (5/7)³.