Monotonie und Extrempunkte von sin (x) - x im Intervall [-2pi; 2pi]

Question

Hallo

Ich tue mich gerade ein bisschen schwer mit der obigen Aufgabe.

Insgesamt soll man auch Nullstellen und Symmetrie berechnen. Hat geklappt, ist achsensymmetrisch ( f(-x) = -f(x) ) und einzige Nullstelle ist (0, 0).

Und dann wird es tricky. Ableitung der Gleichung sollte sein:

f'(x) = cos (x) - 1

Inwiefern ist das bitte hilfreich? Angeblich ist die Gleichung damit monoton fallend? Einziger Gedanke meinerseits: cos x ist immer kleiner/gleich 1? Damit ist der Term immer kleiner/gleich 0?

Extremwerte: cos (x) = 1, das gilt für -2pi, 0 und 2pi? Das oben eingesetzt ergibt (-2pi; 2pi); (0; 0) und (2pi; -2pi)? Reicht das schon, oder denke ich zu kompliziert?

Zweite Ableitung ist -sin (x). Die ergibt hier überall 0. Was für Extrempunkte sind das also? Alles Plateaus?

Answer 1

Hat geklappt, ist achsensymmetrisch ( f(-x) = -f(x) )

Das ist aber das Kriterium für punktsymmetrisch

zum Nullpunkt !  siehe auch:

~plot~ sin(x)-x ~plot~

f'(x) = cos (x) - 1

Inwiefern ist das bitte hilfreich? Angeblich ist die Gleichung damit monoton fallend? Einziger Gedanke meinerseits: cos x ist immer kleiner/gleich 1? Damit ist der Term immer kleiner/gleich 0?

Und wenn die Ableitung immer kleiner/gleich 0 ist es monoton fallend !

( sozusagen: Steigung nie positiv)

Zweite Ableitung ist -sin (x). Die ergibt hier überall 0. Was für Extrempunkte sind das also? Alles Plateaus?

Da es monoton fallend ist, können es gar keine Extrempunkte sein, es sind alles

Sattelpunkte oder wie du sagst Plateaus.