Extremwertaufgabe Schachtel (Umfangformel)

Question

ich hänge gerade bei dieser Aufgabe fest:

Daniela besitzt einen goldfarbenen Pappstreifen, der 50cm lang und 10cm breit ist. Sie mochte damit einen Geschenkkarton basteln, der die abgebildete Gestalt hat. Seine Querschnittsfläche stellt ein Rechteck mit augesetzten gleichschenkligrechtwinkligen Dreiecken dar.
Welche Masse muss sie wählen, wenn das Volumen des Kartons ein Maximum annehmen soll?
Deckel und Boden konnen vernachlässigt werden, da sie aus durchsichtigem Zellophanpapier gebildet werden.

Mein einziger Ansatz wäre die Hauptbedingung, V = Grundfläche * h... Ich stehe total auf dem Schlauch!

Für Lösungsansätze wäre ich wirklich dankbar!

Answer 1

U = 4·a + 2·b --> b = U/2 - 2·a

A = a² + √2·a·b = a² + √2·a·(U/2 - 2·a) = a²·(1 - 2·√2) + √2/2·a·U

A' = a·(2 - 4·√2) + √2/2·U = 0 --> a = U·(√2/28 + 1/7) = a = 0.1934·U

b = U/2 - 2·(U·(√2/28 + 1/7)) = U·(3/14 - √2/14) = 0.1133·u

Damit sind etwa 19% des Umfangs für a und 12% für b zu wählen.

Comments

Was wäre dann hier Haupt- bzw. Nebenbedingung? Bei dem Lösungsweg sehe ich ehrlich gesagt nicht wirklich durch...

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Die Hauptbedingung ist bei mir die Grundfläche A. Da die Höhe der Schachtel konstant ist ist das Volumen maximal wenn die Grundfläche maximal ist. Und die Hauptbedingung ist immer die Größe die maximal werden soll.

Die Nebenbedingung ist der Umfang. Die Nebenbedingung löse ich zu einer Unbekannten auf um sie dann in die Hauptbedingung einzusetzen um die Zielfunktion zu erstellen.

Answer 2

Nenne die gleichen Schenkel des rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks a und die Breite des Rechtecks b. Die Länge des Rechtecks ist a√2 (Pythagoras). Dann ist (1) 50=4a+2b und die Querschnittsfläche Q=b·a·√2 +a². Das Volumen der Schachtel ist (2) V=10·(b·a·√2 +a²). (1) nach b auflösen und in (2) einsetzen. Dann das übliche: Nullstellen der Ableiztung usw.

Answer 3

französische Variante :

I:$$A = ab +s^2$$
II:$$U= 2a+4s$$
III:$$b^2= 2 s^2$$
---$$$$
III:$$b=\sqrt 2 \, s$$
I:$$A = a\, \sqrt 2 \, s +s^2$$
II:$$0= 2a+4s-U$$
---$$$$
$$\Lambda(a,s,\lambda)=a\, \sqrt 2 \, s +s^2 +\lambda \left( 2a+4s-U \right)$$
---
$$$$
$$\frac{\partial\quad \Lambda(a,s,\lambda)}{\partial\quad a}= \sqrt 2 \, s +2\lambda$$
$$\frac{\partial\quad \Lambda(a,s,\lambda)}{\partial\quad s}=a\, \sqrt 2 \, +2 s +4\lambda$$
$$\frac{\partial\quad \Lambda(a,s,\lambda)}{\partial\quad \lambda}= 2a+4s-U$$
---
$$$$
IV:$$0= \sqrt 2 \, s +2\lambda$$
V:$$0=a\, \sqrt 2 \, +2 s +4\lambda$$
VI:$$0= 2a+4s-U$$
---
$$$$
V-2IV:
$$0=a\, \sqrt 2 \, +(2-2 \sqrt 2)\, s$$
VI:$$a= \frac{U-4s}2$$
---$$$$
$$0=\frac{U-4s}2\, \sqrt 2 \, +(2-2\sqrt 2)\, s$$
$$0=\frac{U}2\, \sqrt 2 \, -\frac{4s}2\, \sqrt 2 \, +2s -2\sqrt 2\, s$$
$$0=\frac{U}2\, \sqrt 2 \, +2s -4 \sqrt 2\, s$$
$$+2s -4 \sqrt 2\, s=\frac{U}2\, \sqrt 2 \,$$
$$(2 -4 \sqrt 2)\, s=\frac{U}2\, \sqrt 2 \,$$
$$s=\frac{U}2\, \sqrt 2 \, \frac 1{2 -4 \sqrt 2}$$
$$s=\frac{\sqrt 2}2\, \, \frac U{2 -4 \sqrt 2}$$
$$s=\frac{\sqrt 2} 4\, \cdot \frac {U}{1 -2 \sqrt 2}$$
$$s=9,6682385$$
$$a= 5,663523$$

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