Mit dem Satz von Taylor zeigen, dass eine Funktion nicht schneller als eine quadratische Funktion wächst

Question

ich weiß nicht wie man so etwas zeigt, die Aufgabe ist, dass ich mit dem Satz von Taylor zeigen soll, dass für eine dreimal stetig differenzierbare Funktion f gilt$$f^{ ' }\left( x \right) -\frac { f\left( x+h \right) -f\left( x-h \right)  }{ 2h } \in O({ h }^{ 2 })$$

Answer 1

Taylor "normal" mit Entwicklungspunkt a klingt ja eher so:

f(t) = f(a)  +  f ' (a) * ( t -a )  + f ' ' (a) / 2  * ( x-a)² + Rest

mit t = x+h und a = x hast du also

f(x+h) = f(x)  +  f ' (x) * h  + f ' ' (x) / 2  * h² + Rest1

und  mit t = x-h und a = x


f(x-h) = f(x)  +  f ' (x) * (-h)  + f ' ' (x) / 2  * h² + Rest2

und wenn du das einsetzt in die gegebene Formel


f ' (x) =   (  f(x+h) - f(x-h ) ) / 2h     siehst du es.

Comments

Ich bekomme das richtige raus, wenn ich die Entwicklung ohne Restglied mache, aber wenn ich mit dem Restglied mache, kürzt sich das Restglied nicht weg und ich erhalte$$f'(x) = f^{ ' }\left( x \right) +\frac { f^{ ''' }\left( \xi  \right)  }{ 6 } { h }^{ 3 }+\frac { f^{ ''' }\left( \Psi  \right)  }{ 6 } { h }^{ 3 }$$ für $$x<\xi<x+h, x-h<\Psi<x$$ 

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Wegkürzen muss es sich ja auch nicht, nur die richtige Größenordnung haben,und dem ist doch so.

Answer 2

Schreibe für \(f(x+h)\) und \(f(x-h)\) die Taylorentwicklung bis zu \(h^2\) inklusive Restglied von Lagrange hin. Rechne dann \(f(x+h)-f(x-h)\) aus.

Comments

Wie berechnet man denn zum Beispiel $$f^{ ' }\left( x+h \right) $$

Diese Funktion hat doch keine speziellen Werte?

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In der Handlungsanweisung steht \(f\) und nicht \(f'\). Und Du sollst \(f(x\pm h)\) nicht berechnen, sondern davon die Taylorentwicklung bis \(h^2\) inklusive Restglied hinschreiben.