Stelle eine Formel auf zur Berechnung d Koordinaten von P mithilfe d Abstände zu ABCD

Question

ABCD liegen auf einer Ebene und ergeben ein Rechteck.

A(0/6/0), B(10/6/0), C(10/0/0), D(0/0/0)
Der Punkt P liegt irgendwo im Raum.
Nun soll nur mithilfe der Abstände von P zu den jeweiligen Punkten ABCD die Koordinaten von P ermittelt werden.
Wenn man dieses Problem mit dem Abstandsverhaltniss zu zwei Eckpunkten zu lösen versucht, stimmt das Ergebnis nur beschränkt und wird, je näher die x und y Werte von P sich einem Eckpunkt befinden, verfälscht .
Benötigt wird eine Formel bei der man die vier Abstände einsetzen kann und mindestens die x und y Koordinaten von P bekommt.

Zum ermitteln der Formel kann P natürlich frei gewählt werden.
Wenn zum erstellen der Formel 3 Eckpunkte genügen ist dies auch machbar.

Wie lautet die Formel, bitte?

Answer 1

A(0/6/0), B(10/6/0), C(10/0/0), D(0/0/0), P(x, y, z)

Gegeben seien hier die Abstände zum Quadrat.mit a, b, c, d.

[x, y-6, z]^2 = a
x^2 + y^2 - 12·y + z^2 = a - 36

[x-10, y-6, z]^2 = b
x^2 - 20·x + y^2 - 12·y + z^2 = b - 136

[x-10, y, z]^2 = c
x^2 - 20·x + y^2 + z^2 = c - 100

[x, y, z]^2 = d
x^2 + y^2 + z^2 = d

Von der ersten bis dritten Gleichung subtrahiere ich mal die 4.

- 12·y = a - d - 36
- 20·x - 12·y = b - d - 136
- 20·x = c - d - 100

Nun kann man die erste und die dritte ja schon direkt nach x und y auflösen

x = - c/20 + d/20 + 5
y = - a/12 + d/12 + 3

Nun könnte ein z über die 4. Gleichung gefunden werden.

x^2 + y^2 + z^2 = d
(- c/20 + d/20 + 5)^2 + (- a/12 + d/12 + 3)^2 + z^2 = d
z^2 = - a^2/144 + a·d/72 + a/2 - c^2/400 + c·d/200 + c/2 - 17·d^2/1800 - 34
z = ±√(- a^2/144 + a·d/72 + a/2 - c^2/400 + c·d/200 + c/2 - 17·d^2/1800 - 34)

Das gibt 2 Lösungen. Damit die Ergebnisse könnte man dann in die Gleichungen einsetzen um zu schauen welches z eine Lösung ist.

Wir finden also die eventuell Lösungen:

x = - c/20 + d/20 + 5
y = - a/12 + d/12 + 3
z = ±√(- a^2/144 + a·d/72 + a/2 - c^2/400 + c·d/200 + c/2 - 17·d^2/1800 - 34)