Maxima Minima Sattelpunkt

Question

Aufgabe: Finden Sie alle Maxima Minima und Sattelpunkte

Ich bin mir nicht sicher ob ich bis hier hin richtig gerechnet habe, und weiß nicht genau

Wie es jetzt weiter geht um mir alle Punkte auszurechnen

Bin für jede hilfe dankbar

Comments

Angabe: f(x,y)= 3x^3 + 3xy^2 -2y^3-36x

Answer 1

Hallo chilla, 

bis "in f_x:"  ist alles richtig.

y=0  einsetzen:  9x² + 0 - 36 = 0  ⇔ x² = 4  ⇔  x = ± 2

x=y  einsetzen:  9x² + 3x² - 36 = 0  ⇔ 12x₂ = 36  ⇔ x² = 3   ⇔  x = ±√3

Damit erhältst du die kritischen (stationären) Punkte:

(2 | 0) ; (-2 |0) ; (√3 | √3)  und (-√3 | -√3)

Jeden dieser Punkte musst du jetzt durch Einsetzen in die 2. partiellen Ableitungen einzeln überprüfen (das schaffst du selbst!)

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                       [ = 0     erfordert weitere Betrachtung mit Hessematrix ]

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

      = 0   kann nicht vorkommen

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Hier kannst du dir den 3D-Graph von f(x,y) ansehen (einfach anklicken) 

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-3&xmax=3&ymin=-3&ymax=3&zmin=Auto&zmax=Auto&f=3%2Ax%5E3%2B3%2Ax%2Ay%5E2-2%2Ay%5E3-36%2Ax

Gruß Wolfgang