+2 Daumen
418 Aufrufe
Zeigen Sie, dass 3444 + 4333 durch 5 teilbar ist.Könnte mir jemand zeigen, wie ich das machen kann?Danke.
von

4 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

(3^444 + 4^333) mod 5 = ((3^4)^111 + (4^3)^111) mod 5 = (81^111 + 64^111) mod 5 = (1^111 + 4^111) mod 5 = (1^111 + (−1)^111) mod 5 = (1 − 1) mod 5 = 0 mod 5

von 278 k

(81111 + 64111) mod 5 = (1111 + 4111) mod 5

das sollte eventuell noch näher erläutert werden - ist nicht so offensichtlich für jedermann

Ich war hier davon ausgegangen, dass bekannt ist das

(a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m

und daher auch

a^b mod m = (a mod m)^b mod m

(81111 + 64111) mod 5 = (1111 + 4111) mod 5

Offensichichtlich finde ich dieses:

(81111 + 64111) ≡ (1111 + (-1)111) mod 5

Das kann man meiner Meinung nach auch so schreiben.

+1 Punkt

die Lösung lässt sich nach eingehender Recherche  z.B hier finden:

https://www.fachschaft.informatik.tu-darmstadt.de/forum/viewtopic.php?t=20913

von 30 k
+1 Punkt


für alle Zahlen \(n \in \Bbb N\) gilt, dass die Einerstellen von \(n = n^1\) und \(n^5\) gleich sind.

Damit gilt für die Einerstellen:

$$ 3^{444}+4^{333} = 3^{111\cdot4+0}+4^{83\cdot4+1} = 3^{0}+4^{1} = 1+4 = 5 $$

Grüße,

M.B.

von 5,2 k

für alle Zahlen nN gilt, dass die Einerstellen von n=n1 und n5 gleich sind

Gibts dafür einen Beweis?

Als allgemein bekannt dürfte das nicht vorausgesetzt werden, oder ?

(1) rechne nach.

(2) Da dieser Sachverhalt bei Tausenden von Aufgaben über Teilbarkeit und (Summen von) Potenzen verwendet wird (werden kann), sollte man es wissen.

Grüße,

M.B.

+1 Punkt

34Ξ1 mod5 (Kleiner Fermat)

(1) 3444Ξ1 mod5 (Folgerung daraus)

42Ξ1 mod5 (leicht festzustellen)

4332Ξ1 mod5 (Folgerung daraus)

(2) 4333Ξ4 mod5 (Multiplikation mit 4)

(1)+(2) 3444+4333Ξ1+4 mod5

Rest ist klar.

von 54 k

Benutze das Äquivalenzteichen ≡ statt der griechischen Majuskel Ξ !

≡ statt Ξ? Abgesehen von der Größe ist kein Unterschied erkennbar.

Wie auffällig der Unterschied ist, hängt von der verwendeten Schriftart ab und die Wahl der Schriftart ist wiederum stark abhängig stark vom Anzeigesystem abhängig. Es ist also im allgemeinen sicher besser, gleich das richtige Zeichen zu verwenden und auf meinem Bildschirm sieht es auch besser aus.

Ich werde dir den Gefallen tun und demnächst ≡ statt  Ξ schreiben, damit es auf deinem Bildschirm besser aussieht.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...