Funktion auf Maxima, Minima, Sattelpunkt

Question

Text erkannt:

(a) Betrachte die quadratische Funktion:
\( f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\prime} A \mathbf{x}+b^{\prime} \mathbf{x} \)
wobei \( A \) eine \( n \times n \) symmetrische Matrix ist, und \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, b \in \mathbb{R}^{n} \). Überprüfen Sie, dass dei Gradient \( \nabla f(\mathbf{x})=A \mathbf{x}+b \) ist, und dass die Hesse-Matrix \( f^{\prime \prime}(\mathbf{x})=A \) ist.
(b) Untesuchen Sie die folgende Funktion auf Maxima, Minima und Sattelpunkt
\( \begin{array}{c} f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\prime} A \mathbf{x}+b^{\prime} \mathbf{x}, \\ \text { wobei } A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right), b^{\prime}=(1,0,-2) \text { und } \mathbf{x}^{\prime}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) . \end{array} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz: kann mir jemand beim Ausrechnen von a und b helfen? Danke!!

Comments

Das kann man nicht überprüfen, weil die Aussage falsch ist.

Für eine \(1\times1\)-Matrix \(A=(a_{11})\) und \(b=0\) würde das ja heißen:$$\operatorname{grad}(x^t\cdot A\cdot x)=\operatorname{grad}(a_{11}\cdot x^2)=a_{11}\cdot x$$Das ist aber offensichtlich falsch, weil \((a_{11}\cdot x^2)'=2\cdot a_{11}\cdot x\) gilt.

Answer 1

Die Matrix A ist symmetrisch (genau genommen muss sie es gar nicht sein, aber es vereinfacht einiges, wenn sie es ist).

Nimm also eine allgemeine symmetrische Matrix A mit den Einträgen a,b,c,d,e,f; nimm einen allgemeinen Vektor b mit den Einträgen A,B,C; nimm einen allgemeinen Vektor x mit den Einträgen x,y,z.

Bereche dann x^T Ax, Du bekommst ein Polynom, und wenn Du genau hinsieht, erkennst Du den deutlichen Zusammenhang zwischen Matrix und Polynom.

Berechne x^T b; ebenso.

(Und in Deiner quadratischen Funktion fehlt der Summand +c.)

(Und welcher dämliche Schwachkopf hat die bescheuerten Begriffe Maximizer, Minimizer eingeführt, bzw. verwendet diese?)

Comments

Und wie sieht aus bei [a]?

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Deine Formel ist falsch, es müsste

\( \nabla f(x) = 2Ax+b \)

heißen. Den Beweis kannst Du einfach führen, indem Du Deine Polynome partiell nach x, y und z ableitest, und mit der Matrix bzw. dem Vektor vergleichst.

(Und "untersuchen" schreibt man mit "r"; es heißt "der" Gradient und nicht "dei" Gradient; nach "Sattelpunkt" fehlt ein ":" --- mind. 4 Fehler in einem so kurzem Text; Tippfehler können durchaus mal passieren, aber sind die Leute mittlerweile so dermaßen verblödet, dass sie es nicht mehr für nötig halten, Korrektur zu lesen?)