Eigenschaften der Funktonen f(x)= x^n, n∈ℕ\{1}

Question

Folgende Aufgabenstellung:

Gib die Eigenschaften der Funktionen f(x)=x^n, n∈ℕ\{1} an.

Ich verstehe nicht was damit gemeint ist.

Answer 1

Es handelt sich hier um die Potenzfunktionen mit dem Koeffizienten a=1. https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

Du solltest etwas zu Stetigkeit, Symmetrie und Verlauf sagen. Stetig sind alle Potenzfunktionen.

Für gerade n ist f(x) = x^n achsensymmetrisch zur y-Achse, die in P(0/0) ihr relatives Minimum hat. Es handelt sich auf der ganzen Kurve um eine Linkskurve.
Für ungerade n ist f(x) = x^n punktsymmetrisch mit dem Symmetriezentrum (0|0). Links der y-Achse hat man eine Rechtskurve, rechts davon eine Linkskurve. (0|0} ist Wendepunkt und Terrassenpunkt.

Answer 2

 

hier ist es hilfreich - oder sogar nötig - zwischen Funktionen mit geraden Exponenten (f(x) = x², f(x) = x⁴, f(x) = x⁶ etc.)

und Funktionen mit ungeraden Exponenten (f(x) = x³, f(x) = x⁵, f(x) = x⁷ etc.) zu unterscheiden. 

Alle Funktionen gehen durch den Punkt (0|0).

Die Funktionen mit geraden Exponenten sind symmetrisch zur y-Achse, so ist z.B. x² = (-x)²

Die Funktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, so ist z.B. x³ = -(-x)³

Außerdem streben die Funktionen mit geradem Exponenten gegen ∞ für x gegen ∞ und x gegen -∞.

Die Funktionen mit ungeradem Exponenten streben gegen -∞ für x gegen -∞ und gegen +∞ für x gegen +∞.

Einfach mal ein paar positive und negative x-Werte für f(x) = x² und für f(x) = x³ eingeben, und Du kannst Dir das selbst prima verdeutlichen :-)

Besten Gruß