Wachstum berechnen eine exponentiellen Funktion

Question

Die Bevölkerung eines Landes entwickelt sich nach der Bestandskurve N(t) = 10×e0,024t. (t: Jahre; N(t): Einwohner in Millionen)

a) Bestimme die Einwohnerzahl des Landes zu Beginn der Beobachtung.

b) Berechne die jährliche Wachstumsrate zu Beginn.

c) Berechne, nach welcher Zeit sich die Einwohnerzahl verdoppelt hat.

d) Berechne, zu welchem Zeitpunkt die Bevölkerung mit eine Rate von 1 Million/Jahr wächst.

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Die Bevölkerung eines Landes entwickelt sich nach der Bestandskurve N(t) = 10×e0,024t. (t: Jahre; N(t): Einwohner in Millionen)

a) Bestimme die Einwohnerzahl des Landes zu Beginn der Beobachtung.

b) Berechne die jährliche Wachstumsrate zu Beginn.

c) Berechne, nach welcher Zeit sich die Einwohnerzahl verdoppelt hat.

d) Berechne, zu welchem Zeitpunkt die Bevölkerung mit eine Rate von 1 Million/Jahr wächst.

Answer 1

a) Zu Beginn der Beobachtung ist t=0. N(0)=10 Millionen

b) Die Wachstumsrate ist durch die erste Ableitung gegeben N'(t)=6/25·e^0,024t.  N'(0)=0,24

c) Verdopplung von 10 Mio auf 20 Mio nach t Jahren. Ansatz 20=10·e^0,024t. Also t=ln(2)/0,024. Nach ungefähr 29 Jahren hat sich die Bevölkerung verdoppelt.

Answer 2

a) t=0 --> N(t)= 10

b) e^{0,024} = 1,024 --> entspricht 2,4%

c)

2= e^{0,024*t}

0,024*t=ln2

t= 28,88 Jahre

d)

N'(t) = 1000 000

10*0,024*e^{0,024*t}= 1000 000

t= 731