Tangente einer Funktion bestimmen / Richtig oder Falsch?

Question

Aufgabe 3:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=-x^{2}+6 x-5 ; x \in \mathbb{R} \).

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( \mathrm{f} \) im Punkt \( \mathrm{B}(2 \mid \mathrm{f}(2)) \).

b) Vom Punkt R(3 \( \mid 8 \) ) aus sollen Tangenten an den Graphen von \( f \) gelegt werden. Bestimmen Sie die beiden Berührpunkte sowie die Gleichungen der beiden Tangenten. Lösen Sie die Aufgabe zunächst ohne GTR und kontrollieren Sie anschließend Ihre Ergebnisse mit dem GTR.

Aufgabe 4:

Richtig oder falsch? Kreuzen Sie an.

Für eine Funktion \( f \), die in einem Intervall I zweimal abgeleitet werden kann, gilt:

a) Ist \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0 \), so kann \( x_{0} \) keine lokale Extremstelle von \( f \) sein.
b) Ist \( f^{\prime}(x)<0 \) für alle \( x \in[2 ; 4] \), so ist \( f(4)<f(2) \).
c) Eine Tangente an den Graphen einer Funktion f hat mit diesem Graphen immer nur einen Punkt gemeinsam.
d) Ist \( f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0 \), so kann \( x_{0} \) keine Stelle eines lokalen Maximums von f sein.
e) Wechselt \( f^{\prime \prime} \) in einem Intervall das Vorzeichen nicht, so kann auch f in diesem Intervall das Vorzeichen nicht wechseln
f) Wechselt \( \mathrm{f}^{\prime \prime} \) in einem Intervall das Vorzeichen, so muss auch \( \mathrm{f}^{\prime} \) in diesem Intervall das Vorzeichen wechseln.

Answer 1

Zunächst mal Aufgabe 3

f(x) = - x^2 + 6·x - 5
f'(x) = 6 - 2·x

Tangente an der Stelle 2

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2) = 2 * (x - 2) + 3

Ausmultiplizieren braucht man nicht, wenn nicht nach einer bestimmten Form gefragt ist.

Tangente an den Punkt (3, 8)

(f(x) - 8) / (x - 3) = f'(x)
(- x^2 + 6·x - 13) / (x - 3) = 6 - 2·x
- x^2 + 6·x - 13 = (6 - 2·x)(x - 3)
- x^2 + 6·x - 13 = - 2·x^2 + 12·x - 18
x^2 - 6·x + 5 = 0
x = 5 ∨ x = 1

t1(x) = f'(5) * (x - 5) + f(5) = -4 * (x - 5) + 0
t2(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = 4 * (x - 1) + 0

Skizze mit den Tangenten

Zur Aufgabe 4:

a) r
b) r
c) f
d) f
e) f
f) f

Answer 2

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=-x^{2}+6 x-5 \).

b) Vom Punkt R\((3 | 8 )\)  aus sollen Tangenten an den Graphen von \( f \) gelegt werden.

Geradenbüschel durch R\((3 | 8 )\)

\(\frac{y-8}{x-3}=m\)

\(y=mx-3m+8\)   Schnitt mit  \( f(x)=-x^{2}+6 x-5 \):

\(-x^{2}+6 x-5=mx-3m+8 \)

\(x^{2}+mx-6 x=3m-13 \)

\(x^{2}+x(m-6)=3m-13 \)

\(x^{2}+x(m-6)+(\frac{m-6}{2})^2=3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 \)

\([x+(\frac{m-6}{2})]^2=3m-13+(\frac{m-6}{2})^2   | ±\sqrt{~~}\)

\(x+(\frac{m-6}{2})=±\sqrt{3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 } \)

Damit nur ein Schnittpunkt existiert, muss die Diskriminante 0 werden:

\(±\sqrt{3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 }=0 \)

\(3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 =0 \)

\(m_1=4\)  \(m_2=-4\)

1.Berührstelle:

\(x=-(\frac{4-6}{2})=1\)

2.Berührstelle:

\(x=-(\frac{-4-6}{2})=5\)

Nun noch die beiden y- Werte berechnen und die Gleichungen der Tangenten aufstellen.

Comments

Falsch, eine Tangente kann durchaus mehrere Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion haben.

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Falsch, eine Tangente kann durchaus mehrere Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion haben.

Gilt das auch für quadratische Parabeln?

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Nein. Heißt: Wenn Du nachgewiesen hast, dass es bei Polynomen vom Grad 2 nur einen Schnittpunkt mit der Tangente gibt, und Dich darauf beziehst, kannst Du das hier verwenden. Sonst nicht.

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Nachweis, dass es sich nur einen Schnittpunkt mit der Parabel gibt:

\(f(x)=-x^2+6x-5\)       und   \(g(x)=4x-4\)

\(-x^2+6x-5=4x-4\) 

\(-x^2+2x=1\)

\(x=1\)

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Für beliebige Geraden gilt das aber nicht. Deine Herleitung ist falsch.

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Deine Herleitung ist falsch.

Zeige mir bitte die richtige Herleitung, weil ich doch nur eine gefundene Tangente überprüfen kann.

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Eine richtige Herleitung steht in der anderen Antwort.

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Eine richtige Herleitung steht in der anderen Antwort.

Welche andere Antwort?

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Sorry, aber da geht mir die Geduld langsam aus - Dir ist nicht aufgefallen, dass die Frage schon 2013 beantwortet wurde?!

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Klar , habe ich gesehen, dass die Antwort schon 2013 kam! Dort existiert aber auch exakt die gleiche Tangentengleichung wie bei mir. Da kann meine Herleitung gewiss nicht falsch sein!

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Weil das Ergebnis richtig ist, muss auch die Herleitung richtig sein? Diese Diskussion hat keinen Sinn. Schönen Abend noch.