Tangente einer Funktion bestimmen / Richtig oder Falsch?

Question

Aufgabe 3:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+6 x-5 ; x \in \mathbb{R}$.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $\mathrm{f}$ im Punkt $\mathrm{B}(2 \mid \mathrm{f}(2))$.

b) Vom Punkt R(3 $\mid 8$ ) aus sollen Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt werden. Bestimmen Sie die beiden Berührpunkte sowie die Gleichungen der beiden Tangenten. Lösen Sie die Aufgabe zunächst ohne GTR und kontrollieren Sie anschließend Ihre Ergebnisse mit dem GTR.

Aufgabe 4:

Richtig oder falsch? Kreuzen Sie an.

Für eine Funktion $f$, die in einem Intervall I zweimal abgeleitet werden kann, gilt:

a) Ist $f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, so kann $x_{0}$ keine lokale Extremstelle von $f$ sein.
b) Ist $f^{\prime}(x)<0$ für alle $x \in[2 ; 4]$, so ist $f(4)<f(2)$.
c) Eine Tangente an den Graphen einer Funktion f hat mit diesem Graphen immer nur einen Punkt gemeinsam.
d) Ist $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, so kann $x_{0}$ keine Stelle eines lokalen Maximums von f sein.
e) Wechselt $f^{\prime \prime}$ in einem Intervall das Vorzeichen nicht, so kann auch f in diesem Intervall das Vorzeichen nicht wechseln
f) Wechselt $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ in einem Intervall das Vorzeichen, so muss auch $\mathrm{f}^{\prime}$ in diesem Intervall das Vorzeichen wechseln.

Answer 1

Zunächst mal Aufgabe 3

f(x) = - x² + 6·x - 5
f'(x) = 6 - 2·x

Tangente an der Stelle 2

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2) = 2 * (x - 2) + 3

Ausmultiplizieren braucht man nicht, wenn nicht nach einer bestimmten Form gefragt ist.

Tangente an den Punkt (3, 8)

(f(x) - 8) / (x - 3) = f'(x)
(- x² + 6·x - 13) / (x - 3) = 6 - 2·x
- x² + 6·x - 13 = (6 - 2·x)(x - 3)
- x² + 6·x - 13 = - 2·x² + 12·x - 18
x² - 6·x + 5 = 0
x = 5 ∨ x = 1

t1(x) = f'(5) * (x - 5) + f(5) = -4 * (x - 5) + 0
t2(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = 4 * (x - 1) + 0

Skizze mit den Tangenten

Zur Aufgabe 4:

a) r
b) r
c) f
d) f
e) f
f) f

Answer 2

Gegeben ist die Funktion $f(x)=-x^{2}+6 x-5$.

b) Vom Punkt R$(3 | 8 )$  aus sollen Tangenten an den Graphen von $f$ gelegt werden.

Geradenbüschel durch R$(3 | 8 )$

$\frac{y-8}{x-3}=m$

$y=mx-3m+8$   Schnitt mit  $f(x)=-x^{2}+6 x-5$:

$-x^{2}+6 x-5=mx-3m+8$

$x^{2}+mx-6 x=3m-13$

$x^{2}+x(m-6)=3m-13$

$x^{2}+x(m-6)+(\frac{m-6}{2})^2=3m-13+(\frac{m-6}{2})^2$

$[x+(\frac{m-6}{2})]^2=3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 | ±\sqrt{~~}$

$x+(\frac{m-6}{2})=±\sqrt{3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 }$

Damit nur ein Schnittpunkt existiert, muss die Diskriminante 0 werden:

$±\sqrt{3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 }=0$

$3m-13+(\frac{m-6}{2})^2 =0$

$m_1=4$  $m_2=-4$

1.Berührstelle:

$x=-(\frac{4-6}{2})=1$

2.Berührstelle:

$x=-(\frac{-4-6}{2})=5$

Nun noch die beiden y- Werte berechnen und die Gleichungen der Tangenten aufstellen.

Comments

Falsch, eine Tangente kann durchaus mehrere Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion haben.

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Falsch, eine Tangente kann durchaus mehrere Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion haben.

Gilt das auch für quadratische Parabeln?

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Nein. Heißt: Wenn Du nachgewiesen hast, dass es bei Polynomen vom Grad 2 nur einen Schnittpunkt mit der Tangente gibt, und Dich darauf beziehst, kannst Du das hier verwenden. Sonst nicht.

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Nachweis, dass es sich nur einen Schnittpunkt mit der Parabel gibt:

$f(x)=-x^2+6x-5$       und   $g(x)=4x-4$

$-x^2+6x-5=4x-4$ 

$-x^2+2x=1$

$x=1$

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Für beliebige Geraden gilt das aber nicht. Deine Herleitung ist falsch.

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Deine Herleitung ist falsch.

Zeige mir bitte die richtige Herleitung, weil ich doch nur eine gefundene Tangente überprüfen kann.

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Eine richtige Herleitung steht in der anderen Antwort.

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Eine richtige Herleitung steht in der anderen Antwort.

Welche andere Antwort?

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Sorry, aber da geht mir die Geduld langsam aus - Dir ist nicht aufgefallen, dass die Frage schon 2013 beantwortet wurde?!

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Klar , habe ich gesehen, dass die Antwort schon 2013 kam! Dort existiert aber auch exakt die gleiche Tangentengleichung wie bei mir. Da kann meine Herleitung gewiss nicht falsch sein!

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Weil das Ergebnis richtig ist, muss auch die Herleitung richtig sein? Diese Diskussion hat keinen Sinn. Schönen Abend noch.