Exponentialfunktion: Schnitt- und Berührpunkte, Tangenten

Question

Gegeben ist die Kurve f (x) = 4*e^-x/2    und die Gerade g: y= - 2/e x  + 8/e

(Falls Unklarheiten mit den Zeichen sind, hier nochmal versucht in Worte zu beschreiben: f (x) = 4 Mal e hoch Minus x halbe;  g: y= Minus "Zwei-Etel" x   Plus  "Acht-Etel")

Zeige rechnerisch, dass g Tangente an Kf ist.

Gib den Berührpunkt B an.

Die Lösung sollte heißen: B (2I  4/e)

Ich weiß nicht wie der Lösungsweg sein soll. Wie ich bei mehreren e wie in der Aufgabe   ln  verwende und wie ich das löse, da ein zweites x enthalten ist.

Ich würde die beiden Funktionen Gleich setzten. Aber dann?

Weiß das jemand? Wäre super nett und hilfreich!!

Answer 1

f ( x ) = 4 * e ^-x/2  
g ( x ) = - 2/e * x  + 8/e

Wie ich bei mehreren e wie in der Aufgabe 

" e "  ist 2.71... und ist im 2.Term nur eine
Konstante. Sie wird nicht für sich abgelitten.

Für einen Berührpunkt gilt
f ( x ) = g ( x )  | gleiche Koordinaten
f ´( x ) = g ´( x )  | gleiche Steigung

f ´( x ) = -2 * e ^{ -x/2}
g ´( x ) = - 2/e

f ( x ) = g ( x )
4 * e^-x/2  =  - 2/e * x  + 8/e

f ´( x ) = g ´( x )
-2 * e ^{ -x/2} = - 2/e
e ^{ -x/2} =  1 / e  | ln
- x / 2 = ln ( 1 / e ) = ln ( 1 ) - ln ( e )
- x / 2 = -1
x = 2

f ( x ) = g ( x )

f ( x ) = g ( x )
f ( 2 ) = g ( 2 )
4 * e ^-2/2  =  - 2/e * 2  + 8/e
4 * e ^-1  =   4 / e = 4 ^{-1}

Die Stelle mit gleicher Steigung ist
auch ein Schnittpunkt.
Insgesamt Berührpunkt.
Die Gerade g ist somit eine Tangente
an f .

B ( 2 | 4 ^{-1}  )

Comments

Gern geschehen.
Falls du wieder Fragen hast dann einstellen.

Answer 2

f(x) = 4·e^{- x/2}

f'(x) = - 2·e^{- x/2} = -2/e --> x = 2

f(2) = 4·e^{- 2/2} = 4/e

g(2) = 4/e

Damit Stimmt an der Stelle 2 die Steigung und der Funktionswert überein. Daher ist g eine Tangente.