Grenzwert von einer Folge mit Bruch und Wurzeln bestimmen.

Question

Hallo alle,

ich beschäftige mich derzeit mit Folgen und habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe den Grenzwert zu ermitteln. Habe soweit das 3.Binom am Anfang angewendet und dann zusammengefasst. Aber ich weiß leider nicht weiter bzw. wie man an den Grenzwert am Ende kommen soll (Das Grenzwert-Ergebnis habe ich von Wolfram Alpha).

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Danke :)

Comments

Wolframalpha gibt dir doch auch "alternate forms" für deinen Bruch an.Ziele in deren Richtung, wenn du umformst.

Solange n im Bruch ist, gehört ein lim_(n gegen unendlich) vor den Bruch.

EDIT: Was du in Wolframalpha eingibst, solltest du unbedingt auch hier zusätzlich zum Bild über die Tastatur eingeben (kopieren aus WA-Eingabezeile). Die Chance, dass jemand vorrechnet ist dann etwas grösser.

Answer 1

wenn du den Term vor dem ? in ein Produkt zweier Brüche aufteilst,

dann ist der erste

( -7n³  - n  + 19 )  /    ( 80n³   + 1 )   und dann mit n³ kürzen gibt

( -7  - 1/n²    + 19/ n³   )  /    ( 80  + 1/ n³   )

und für n gegen unendlich gehen die mit dem n im Nenner alle gegen 0

und der Grenzwert ist  -7 / 80 .

Der zweite Bruch geht entsprechend und du kürzt mit n²   also

innerhalb der Wurzel mit n⁴  und es entsteht der Grenzwert

( √6   + √6 ) / ( √3  +  √3  )  

= 2√6 /  2√3      =  √6  /  √3    =   √2Also der Grenzwert für beide Brüche :

 -7 / 80       *      √2     =  -7* √2  / 80   =     -7  / ( 40√2  ) .

Answer 2

Vielleicht so:$$=\lim_{n\to\infty}\frac{-7n^3-n+19}{80n^3+1}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{6n^4+80n^3}+\sqrt{6n^4-1}}{\sqrt{3n^4-n+7}+\sqrt{3n^4+7n^3-12}}$$$$=\frac{-7}{80}\cdot\frac{2\sqrt6}{2\sqrt3}=-\frac7{80}\sqrt2.$$