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Ich hab ein bisschen Probleme mit dem Aufstellen eines Taylorpolynoms, beziehungsweise damit, die Lösung nachzuvollziehen. Gegeben ist die Funktion 1/(x-3) und die Taylor Reihe T(x;-1) ist gefragt.

In der Lösung heißt es jetzt ∑k≥0 [-1/(4k+1)]*(x+1)k

Was ich jetzt nicht verstehe ist, wie man auf 4k+1kommt. Wahrscheinlich über 4*k! , bin mir da aber nicht sicher und kriege es auch nicht hin mir das selbst herzuleiten.

Liebe Grüße,

Nox

von

1 Antwort

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allgemein ist es doch

k≥0    f(k)(-1) / k!  *(x+1)k

Die Ableitungen sind   

f(0)(x) = 1/(x-3) also  f(0)(-1) = 1/(-1-3) =  -1/4    =    -1/41    

f(1)(x) = -1/(x-3)2 also  f(1)(-1) = -1/(-1-3)2 =  -1/16     =    -1/42


f(2)(x) = 2/(x-3)3 also  f(2)(-1)  /  2!   = ( 2/(-1-3)3 )  /   2!  =  -1/64 =   =    -1/43   

allgemein


f(k)(x) = (-1)k*k! /(x-3)k+1  also  f(k)(-1)  /  k!     =

( (-1)k*k! /(-1-3)k+1  ) / k!    =   -1/4k+1   ( k! kürzt sich weg )

und damit

k≥0 [-1/(4k+1)]*(x+1)k
von 229 k 🚀

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