Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der Ungleichungen. Bsp. a) 2 Ix - 2I < I3 + xI mit Betrag

Question

Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: 

habe hier Probleme auf die Lösungsmenge zu kommen. 

bei A) habe ich 7 rausbekommen wie komme ich auf 1/3?

bei B) habe ich noch nichts eventuell mit hilfe der pq-formel?? Bitte um Tipps und Lösungswege.

(a) 2 Ix - 2I < I3 + xI                        Lösung: L = {1/3   ;   7}

(b) ( 1) ( 3) ( 1) 0 2 x  x  x      Lösung: L (1,3)

Answer 1

2 Ix - 2I < I3 + xI        soll wohl = heißen .                für x<2 und  x>-3  :   2*( -x + 2 )  =  3+x

                                   -2x + 4 = 3+x
                                            1 = 3x                                           1/3  =  x

Answer 2

2 Ix - 2I < I3 + xI  

~plot~ 2 abs(x - 2); abs(3 + x);[[-7|9|-1|12]] ~plot~ 

2 Ix - 2I < I3 + xI 

Nun suchst du den Bereich, in dem der eine der Graphen unterhalb vom andern liegt. Als Lösungsmenge ergibt sich das offene Intervall (1/3 | 7) 

D.h. in der Musterlösung werden die falschen Klammern verwendet oder du hast eine Betragsgleichung.

2 Ix - 2I < I3 + xI          | ^2 

4(x-2)^2 < (3+x)^2  | quadratische Ungleichung  

4(x^2 - 4x + 4) < 9 + 6x + x^2  

4x^2 - 16x + 16 < 9 + 6x + x^2 

3x^2 - 22x + 7 < 0

Hier kannst du, wenn du willst die abc-Formel verwenden und dazu noch ablesen, dass die Parabel mit der Gleichung 3x^2 - 22x + 7 nach oben geöffnet ist.

Mit etwas zoomen siehst du die Lösungsmenge dann hier:  

~plot~ 3x^2 - 22x + 7 < 0;x=1/3;x=7;[[-7|9|-1|2]] ~plot~

 

Comments

Anwenden der dritten binomische Formel liefert sofort die faktorisierte Form ohne die Quadrate auszumultiplizieren.

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Natürlich. So hast du die Schnittstellen schneller. 

Du musst dann aber doch nicht überlegen, welcher Zahlenbereich rauskommt. 

4(x-2)² < (3+x)²  

4(x-2)² - (3+x)²  < 0

(2(x-2) + (3+x))(2(x-2) - (3+x)) < 0

(2x - 4 + 3 + x)(2x-4 - 3 - x) < 0

(3x - 1)(x - 7) < 0

Exakt 0 für x1= 1/3 und x2 = 7.

Zwischen den beiden Werten ist einer der Faktoren positiv und der andere neg.

Also L = (1/3,7) .