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Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen?


a) |-x2 - 9| < |x - 1|

b) |x - 1| ≥ |x + 2|

c) -x2 ≤ x + 4

$$d) \frac{x-1}{x + 1}< 1 (x≠1)$$

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Überlege dir, wie die Graphen der Beträge verlaufen.

d) ist keine Ungleichung

Sry, hab es korrigiert.

3 Antworten

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|-x^2 - 9| < |x - 1|

Da -x^2-9 immer negativ ist, ist der Betrag x^2 + 9.

Also brauchst du nur

x^2 + 9 < | x-1| zu lösen.

1. Fall x≥1 dann ist es

   x^2 + 9 < x-1

<=> x^2 -x + 10 < 0

Der Graph zur Funktion mit dem Funktionsterm x^2 -x + 10

ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel (0,5 ; 9,75 ), also

sind die Funktionswerte nie negativ. Somit

keine Lösungen bei Fall 1.

2. Fall x<1 dann ist es
    x^2 + 9 < -x+1

<=> x^2 + x + 8 < 0

Hier ist der Scheitel ( -0,5 ; 7,75 ), also auch keine Lösungen.

Zeigt auch die Grafik: Die Parabel liegt immer über dem anderen Graphen.

~plot~ x^2 + 9 ; abs(x - 1);[[-5|5|-1|12]] ~plot~


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|x - 1| ≥ |x + 2|
auf beiden Seiten steht Positives
es gilt daher auch
( x-1) ^2 ≥ ( x + 2 )^2

x^2 - 2x + 1 ≥ x^2 + 4x + 4
-2x - 4x ≥ 4 - 1
-6x ≥ 3  * -1
6x ≤ -3
x ≤ - 0.5

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-x^2 ≤ x + 4
-x^2 - x ≤ 4  | * -1
x^2 + x ≥ -4
x^2 + x + 1^2 ≥ -4 + 1
( x + 1 ) ^2 ≥ -3

Immer


( x - 1 ) / ( x + 1 ) < 1 ( x ungleich minus 1 )

1.Fall x < -1
es gilt
( x - 1 ) > 1 *  ( x + 1 )
x -1 > x + 1
-1 > 1
falsch

2.Fall x > -1
es gilt
( x - 1 ) < 1 *  ( x + 1 )
x -1 < x + 1
-1 < 1
richtig
Lösung x > -1

muss man nicht auch -x + 1 >=  x+1 nehmen?

Beschreib die Stelle in den Berechnungen bei mir einmal genauer.

|x - 1| ≥ |x + 2|

muss man da nicht einfach einmal: x-1 >= -(x+2) & x-1 >= x+1 rechnen?

Aus
|x - 1| ≥ |x + 2|
folgt nicht
x - 1 ≥ x + 2

Und warum hat mathef eine andere ähnliche Aufgabe ganz anders gelöst? AUFGABE a)

Der Lösungsweg von mathef ist
dort einfacher.


Kann man den selben Weg auf b) anwenden?

Ich hoffe du meinst bereits jetzt : ja.

|x - 1| ≥ |x + 2| | quadrieren
( x - 1 ) ^2  ≥ (x + 2|)^2
x^2 - 2x + 1 ≥ x^2 + 4x + 4
-2x - 4x ≥ 4 - 1
- 6x 3  | : - 6
x - 1/2

Probe mit -1/2
|x - 1| ≥ |x + 2| |
3/2 ≥ 3/2

Wären 4 Fälle auch zulässig? (bei Aufgabe a) )?

Du meinst bei
|-x^2 - 9| < |x - 1| 4 Fallunterscheidungen ?
- x^2 - 9 = 0
-9 = x^2 geht nie

x - 1 = 0
x = 1

2 zu untersuchende Fälle :
x > 1
und
x < 1

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d) 1. Fall:

x>-1

x-1<x+1

-1< +1 gilt immer → L = {x|x>-1}

2. Fall:

x<-1

x-1 >x+1

-1>1 falsch -> keine Lösung

--> Gesamtlösungsmenge L= {x|x>-1}

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