Da existieren jetzt schon ein Haufen Aufgaben zu dem Thema. Such dir mal eine aus und probiere wie dort vorzugehen.
Eine Beisipielaufgabe findest du hier: https://docs.google.com/document/d/1mCAAuEIzkVvqtqIyo97jD-7gT0F6erTGV-1MOEU5T44/pub
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Eulersche Gerade im Dreieck
Mathe Analytische Geometrie
Eulersche Gerade im Dreieck
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten
A = [-5, 1], B = [5, -4], C = [5, 5]
Berechne die Koordinaten der Halbierungspunkte der Strecken AB, BC, CA.
Gib die Gleichung des Kreises durch diese Punkte an und zeige, dass der Mittelpunkt auf der Eulerschen Gerade liegt.
Berechnung der Mittelpunkte auf den Seiten
D = MAB = 1/2·(A + B) = 1/2·([-5, 1] + [5, -4]) = [0, -1.5]
E = MBC = 1/2·(B + C) = 1/2·([5, -4] + [5, 5]) = [5, 0.5]
F = MAC = 1/2·(A + C) = 1/2·([-5, 1] + [5, 5]) = [0, 3]
Berechnung des Umkreises des Dreiecks DEF (Feuerbachkreis)
Mittelsenkrechte von DE
DE = E - D = [5, 0.5] - [0, -1.5] = [5, 2]
1/2·(D + E) + r * [2, -5] = 1/2·([0, -1.5] + [5, 0.5]) + r * [2, -5] = [2·r + 2.5, - 5·r - 0.5]
Mittelsenkrechte von DF
DF = F - D = [0, 3] - [0, -1.5] = [0, 4.5]
1/2·(D + F) + s * [4.5, 0] = 1/2·([0, -1.5] + [0, 3]) + s * [4.5, 0] = [4.5·s, 0.75]
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von DE und DF
[2·r + 2.5, - 5·r - 0.5] = [4.5·s, 0.75]
r = -0.25 ∧ s = 4/9
M = [4.5·(4/9), 0.75] = [2, 0.75]
r = |M - D| = |[2, 0.75] - [0, -1.5]| = √(145/16)
Feuerbachkreis: (x - 2)^2 + (y - 0.75)^2 = 145/16
Der Mittelpunkt soll jetzt auf der Eulergeraden liegen. Auf dieser liegen auch Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
Berechnung des Schwerpunktes
1/3 * (A + B + C) = 1/3 * ([-5, 1] + [5, -4] + [5, 5]) = [5/3, 2/3]
Berechnung des Umkreismittelpunkts vom Dreieck ABC
Mittelsenkrechte von AB
AB = B - A = [5, -4] - [-5, 1] = [10, -5]
1/2·(A + B) + r * [5, 10] = 1/2·([-5, 1] + [5, -4]) + r * [5, 10] = [5·r, 10·r - 1.5]
Mittelsenkrechte von AC
AC = C - A = [5, 5] - [-5, 1] = [10, 4]
1/2·(A + C) + r * [4, -10] = 1/2·([-5, 1] + [5, 5]) + s * [4, -10] = [4·s, 3 - 10·s]
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB und AC
[5·r, 10·r - 1.5] = [4·s, 3 - 10·s]
r = 1/5 ∧ s = 1/4
[5·(1/5), 10·(1/5) - 1.5] = [1, 0.5]
Berechnung des Höhenschnittpunktes
Höhe über AB
AB = B - A = [5, -4] - [-5, 1] = [10, -5]
C + r * [5, 10] = [5, 5] + r * [5, 10] = [5·r + 5, 10·r + 5]
Höhe über AC
AC = C - A = [5, 5] - [-5, 1] = [10, 4]
B + s * [4, -10] = [5, -4] + s * [4, -10] = [4·s + 5, - 10·s - 4]
Schnittpunkt der Höhen über AB und AC
[5·r + 5, 10·r + 5] = [4·s + 5, - 10·s - 4]
r = -2/5 ∧ s = -1/2
[5·(-2/5) + 5, 10·(-2/5) + 5] = [3, 1]
Zu zeigen ist das alle Punkte [2, 0.75], [5/3, 2/3], [1, 0.5] und [3, 1] auf einer Geraden liegen
[2, 0.75] - [5/3, 2/3] = [1/3, 1/12] = 1/12 * [4, 1]
[2, 0.75] - [1, 0.5] = [1, 1/4] = 1/4 * [4, 1]
[2, 0.75] - [3, 1] = [-1, -1/4] = -1/4 * [4, 1]
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Da sind denke ich alle wichtigen Berechnungen drin.
Den Umkreis mit einem Gleichungssystem habe ich hier berechnet: https://www.mathelounge.de/43150/ich-habe-gerade-versucht-dieses-dreieck-c-9-zu-konstruieren
Wenn du nicht klar kommst dann sag mal wo du Probleme hast.
