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In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, dass ℝ2 ein ℝ Vektorraum, aber auch ein ℚ Vektorraum ist.

Wenn es ein ℚ Vektorraum ist, müsste dann ℝ2 nicht auf die Rationalen Zahlen beschränkt sein?  Zum Bsp. ist ja (√2,1)∈ℝ2 aber √2 ist ja nicht aus ℚ...

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2 Antworten

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Hallo Farina, 

in jedem Vektorraum gibt es einen "Skalarenkörper", aus dem die Elemente stammen, mit dem man die Vektoren skalar multiplizieren kann.

Diese können bei ℝ2 aus ℝ sein:  √2 * [1,√3]  = [√2 , √6]

Sie können bei ℝ2 aber auch per Definition auf ℚ beschränkt werden:

                 2 *  [1,√3] =  [2, 2√3]

Die Koordinaten der Vektoren dürfen dann immer noch aus ℝ sein.

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀
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In einem K-Vektorraum gibt es zwei "Rechenarten":

  • Eine Addition
  • Eine Multiplikation mit Elementen aus dem Körper K.

Beide diese Rechenarten müssen zusätzliche Regeln erfüllen, die du in den Vektorraumaxiomen findest.

> Wenn es ein ℚ Vektorraum ist, müsste dann ℝ2 nicht auf die Rationalen Zahlen beschränkt sein?

Können Element aus ℝ2 mit rationalen Zahlen multipliziert werden?

Falls ja: erfüllt diese Multiplikation die zusätzlichen Regeln, die in den Vektorraumaxiomen gefordert sind?

Wenn du beide Fragen mit "Ja" beantwortest, dann ist ℝ2 ein ℚ-Vektorraum.

Wenn du eine der Fragen mit "Nein" beantwortest, dann gibt an welche das ist und begründe.

von 77 k 🚀

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