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Bild Mathematik

Hi, welche Matrix muss ich denn hier Null setzen ?

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Du brauchst erst mal f(0,1,0) und von f(0,0,1).

Wenn du die hast, hast du die Matrix der Abbildung.

Avatar von 162 k 🚀

Danke erstmal, kannst du vielleicht noch kurz erläutern wie ich jetzt vorgehe? :)

Kleine Hilfestellung (falls nötig)

f(0,1,0) = f(1,1,0) - f(1,0,0)

f(0,1,0) = f(0,0,1) = (3,3,3)

Matrix  M= 

(1 3 3

2 3 3

3 3 3) 

könntest du erklären, wieso du diesen schritt durchführst?

f(0,1,0) = f(1,1,0) - f(1,0,0)

f(0,1,0) = f(0,0,1) = (3,3,3) 

ist das das bild der matrix?

Matrix  M= 

(1 3 3

2 3 3

3 3 3) 

Hat jemand Lust hier weiter zu antworten? :D

Setze die gegebenen Vektoren ein:

f(0,1,0) = f(1,1,0) - f(1,0,0) = (4,5,6) - (1,2,3) = (3,3,3)

Das ist nun die zweite Spalte der Matrix M. usw.

Die gesuchte Menge ist der Kern von M. https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)#Beispiel_(lineare_Abbildung_von_Vektorräumen)

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Also dann...

Grundsätzlich könnte man die allgemeine Abbildungsmatrix aufstellen,

\(Ao \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\\\end{array}\right)\)

die Bilder berechnen

{Ao {1,0,0}-{1,2,3}=0,Ao {1,1,0}-{4,5,6}=0,Ao{1,1,1}-{7,8,9}=0}

\(\left(\begin{array}{rrr}a11 - 1&a21 - 2&a31 - 3\\a11 + a12 - 4&a21 + a22 - 5&a31 + a32 - 6\\a11 + a12 + a13 - 7&a21 + a22 + a23 - 8&a31 + a32 + a33 - 9\\\end{array}\right)\)

und das GLS lösen und damit die Matrix A bestimmen.

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&3&3\\2&3&3\\3&3&3\\\end{array}\right) \)

A x = 0 in Treppenstufenform bringen (A(z) = Zeile z von A)

{A(1) + (A(2)-2A(1)) ,  (A(2)-2A(1))/(-3) ,  A(3)-3A(1)-2(A(2)-2A(1))}

\(A'=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\\\end{array}\right)\)

damit ist

\( x_0 \, :=  \, \left( \begin{array}{r}0\\-t\\ t\\ \end{array} \right) \) mit \( A \; x_0 = \left( \begin{array}{r}0\\0\\ 0\\ \end{array} \right) \)

---

Man könnte auch eine Basiswechselmatrix eTb von B in die Standardbasis E aufstellen

\(eTb \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

und die Abbildungsmatrix aufschreiben

\(bAb \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\\\end{array}\right) \)

und A auf diesem Weg berechnen

\(A = bAb \; eTb^{-1}\)

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