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Aufgabe:

Zeige, dass eine lineare Abbildung f: \( R^{n} \) -> \( R^{n} \) injektiv ist, wenn Kern (M(f)) = 0


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass eine lineare Abbildung ein Isomorphismus ist, wenn sie von einem  \( R^{n} \)  in einen \( R^{n} \)  abgebildet wird, d.h. f injektiv und surjektiv ist. Aber wie genau soll ich das zeigen? Außerdem weiß ich, dass der Kern einer Matrix berechnet werden kann in dem man ein LGS mit dessen Zeilen löst und das Ergebnis für die n Zeilen jeweils mit Lambda multipliziert. Leider komme ich nicht auf die Lösung. :(

von

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Hallo Maceline,

Sei Kern(f) = 0   ,  x , y ∈ ℝn

f(x)  = f (y)  

⇔  f(x) - f(y)  = 0

⇔   f(x - y)    = 0    ( f ist linear! )

⇔     x - y =  0      ( Kern(f) = 0 ! )

⇔     x = y

→   f ist injektiv 

Gruß Wolfgang

von 81 k

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