Reihe auf konvergenz untersuchen n>=1 (-1)^n/wz wz n

Question

(-1)^n/(√√n)

L'hospital oder wz Kriterium?

Der Nenner ist ha beschränkt, sonnst wärs einfach und divergent...

Ich hab gedacht die Reihe ist Konvergent...

Mfg 

Answer 1

(-1)ⁿ/(√(√n))

= (-1)ⁿ/(n^{1/4})

Wenn da noch irgendwie ein Summenzeichen dabei ist, kannst du Leibniz benutzen, um die Existenz der Reihe zu zeigen. 

Was meinst du mit ha-beschränkt? 

(n^{1/4}) ist monoton wachsend und unbeschränkt. 

Comments

*der Nenner ist ja beschränkt... Und mit dem wurzrlkriterium komm -1/1 was <1 ist und somit konvergiert die Reihe?

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Ach so. Das ist falsch.

(n^1/4) ist monoton wachsend und unbeschränkt. 

Wenn du behauptest, dass der Nenner beschränkt ist, müsstest du eine obere Schranke angeben können. 

Der Nenner kann problemlos grösser als z.B. 1000000 = 10^6 werden.

n^{1/4} = 10^6     |^4

n^ ((1/4)*4 = 10^ (6*4)

n^1 = 10^24

Wähle N = 10^24 + 1, so gilt N^{1/4} > 10^6 .

Statt 10^6 kannst du eine beliebig grosse positive reelle Zahl einsetzen. 

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XD ich mein der zähler sry verwechselt

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Wurzeln aus neg. Zahlen solltest du vermeiden.

1/n ist eine divergente Minorante von bn:= 1/(n^{1/4})    , n≥1.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium bezieht sich auf absolute Konvergenz. Und deine Reihe konvergiert nicht absolut.

Grund dein alpha ist 1/4 und 1/4 < 1.

Answer 2

Da es sich nach deiner Aussage um eine *Reihe* handelt, muss es heißen

Summe (n=1 bis unendlich) (-1)ⁿ / n^(1/4) 

Mit dem Leibnizkriterium, https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium, zeigt man, dass die Reihe *konvergiert*.

Comments

Upps...  hab quotienten probiert, wurzel, Majorantenkriterium... Aber Leibniz ist mir nicht eingefallen xD aber würde es theoretisch mit dem Wurzrlkriterium auch gehen? Ich bekomme da irgendwie <1 raus und somit ist die Reihe Konvergent

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Ja, das stimmt.  Mit dem Wurzelkriterium bekommt man 0 raus, und 0 ist kleiner als 1.  Also konvergiert die Reihe.

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Lu hat mal wieder Recht.  Für den Konvergenzbeweis kann man man das Leibnitz-Kriterium verwenden.  Das Wurzel- und das Quotientenkriterium sind nicht anwendbar, da kommt jeweils 1 raus.  Bei der Untersuchung auf *absolute* Konvergenz hilft die divergente Majorante wie von Lu geschildert.