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Sei m aus N. Zeigen Sie, dass für Z_m bzgl. *m gilt:


Z_m* = { a aus Z_m I ggT(a,m) = 1 }

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Das ist die Aufgabe. Um die Mengengleichheit zu zeigen, würde ich beide Richtungen der Teilmengen'relation'(?) zeigen.

Sei also a aus Z_m*, demnach eine Einheit. Dann gibt es ein b aus Z_m derart, dass a *m b = 1, somit existiert ein q auz Z_m, sodass

a * b = q * m + 1. Daraus kann man folgern, dass a teilt q * m + 1. Nun komme ich aber nicht weiter. Bedeutet das, dass a teilt nicht q * m und darum wiederum, dass a und m teilerfremd? Was fehlt mir für ggT(a,m) = 1, wie kann man das schön zeigen?


Für die Rückrichtung habe ich nichtmal einen wirklichen Ansatz. Sei a aus { a aus Z_m I ggT(a,m) = 1 }. Dann 1 teilt a und 1 teilt m. Das bringt aber nicht viel. Muss man hier mit Bézout arbeiten?

von

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a * b = q * m + 1   gibt

a * b -  q * m   = 1

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_B%C3%A9zout

von 229 k 🚀

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