Dreieck ABC mit A(-2,6/0,4), B(1/-2,7), C(0,6/-0,4). Durch jede Ecke geht eine Gerade, die dieselbe Steigung hat wie…

Question

Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten A,B,C. Durch jeden Eckpunkt geht eine Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die gegenüberliegende Dreiecksseite. Gib für jede dieser Geraden eine Gleichung an. In welchen Punkten S1,S2 und S3 schneiden sich die Geraden ?

A(-2,6/0,4), B(1/-2,7), C(0,6/-0,4)

Answer 1

Hallo aleksej, 

 

die Gerade durch A hat die gleiche Steigung wie die Seite b, die Verbindung von B nach C, also 

(-0,4 + 2,7) / (0,6 - 1) = -5,75

Analog hat die Gerade durch B die Steigung

(-0,4 - 0,4) / (0,6 + 2,6) = -0,25

und die Gerade durch C

(-2,7 - 0,4) / (1 + 2,6) = -31/36 

 

Also kann die Gerade durch A beschrieben werden als f(x) = -5,75 * (x + 2,6) + 0,4

B durch g(x) = -0,25 * (x -1) - 2,7

C durch h(x) = -31/36 * (x - 0,6) - 0,4  

 

Die Schnittpunkte erhält man durch Gleichsetzen dieser Geradengleichungen: 

S₁

-5,75 * (x + 2,6) + 0,4 = -0,25 * (x - 1) - 2,7

S₂

-5,75 * (x + 2,6) + 0,4 = -31/36 * (x - 0,6) - 0,4

S₃

-0,25 * (x - 1) - 2,7 = -31/36 * (x - 0,6) - 0,4

 

Probierst Du das bitte einmal selbst?

Besten Gruß

Comments

Was sind jetzt S1-3, also das Ergebnis und geht das nicht leichte ?

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Ich wüsste keinen einfacheren Lösungsweg, außer dass man die Geradengleichungen ausmultiplizieren könnte :-(

f(x) = -5,75 * (x + 2,6) + 0,4 = -5,75 * x - 14,55

g(x) = -0,25 * (x - 1) - 2,7 = -0,25x - 2,45

h(x) = -31/36 * (x - 0,6) - 0,4 = -31/36 * x + 7/60

Gut, rechnen wir den 1. Schnittpunkt S₁ aus: 

-5,75x - 14,55 = -0,25x - 2,45

-5,5x = 12,1

x = -2,2

Das eingesetzt in f(x) ergibt die y-Koordinate:

f(-2,2) = -5,75 * (-2,2) - 14,55 = -1,9 

Zur Probe nochmals in g(x) eingesetzt: 

g(-2,2) = -0,25 * (-2,2) - 2,45 = -1,9

S₁ = (-2,2|-1,9)

 

Die anderen Schnittpunkte werden analog berechnet :-)

Answer 2

Hi,

man errechne die Steigungen von

AB

AC

BC


Dafür könnte man beispielsweise ein Gleichungssystem aufbauen in dem man A und B in y=mx+b einsetzt.

AB:

0,4=-2,6m+b

-2,7=m+b

Es reicht nun nach b aufzulösen und gleichzusetzen. Man erhält eine Aussage bzgl. m

0,4+2,5m = -2,7-m

m=-31/36


AC:

m=-0.25


BC:

m=-5,75


Wir haben also nun die Steigungen.

Diese nun verwenden um die neuen Geraden zu bestimmen, unter der Bedingung, dass sie durch den entgegengesetzten Punkt gehen.


Die Gerade durch B hat also die Steigung m=-0,25 etc.

B:

y=-0,25x+b mit B(1|-2,7)

-2,7=-0,25+b

-2,45=b

Die Gerade durch B lautet also y=-0,25x-2,45.


Das mache auch für den Rest und setze gleich, Du erhältst so Deine Schnittpunkte.


Viel Spaß :)

Answer 3

da alle Punkte in der x-Koordinate verschieden sind, kann man die gesuchten Geradengleichungen als lineare Funktionen im zweidimensionalen Koordinatensystem auffassen, deren Anstieg sich aus zwei Punkten ergibt und die durch den dritten Punkt gehen müssen.

Gehe die erste Funktion f (f(x) = mx + n) durch A und sei parallel zu BC. Dann ergibt sich der Anstieg m aus

m = B_x - C_x / B_y - C_y = ... (ausrechnen).

Das Absolutglied n ergibt sich aus

n = A_y - m*A_x = ... (wieder ausrechnen), da f(A_x) = A_y gelten muss.

MfG

Mister