Kostenfunktion, minimal Grenzkosten, Betriebsminimum, Betriebsopti

Question

ich  brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

gegeben ist: K(x) = 1200 +90x -3x²+0,05x³

b) Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten

K´(x) = 20  ?

c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum

d) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum

e) Bestimmen Sie die totalen Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück.

K(200) = 299200 ?

Answer 1

Hallo jc,

K(x) = 1200 + 90x - 3x² + 0,05x³ 

 b) Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten

K'(x) = 90 - 6x + 0,15x² = 0  (Grenzkosten)

K "(x) = 3·x/10 - 6 = 0   →  x = 20  mit VZW - → +  

              K'(20) = 30 [€/Stück]   → Grenzkostenminimum (20|30)    

d) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum  (Minimum der Stückkosten)

Stückkosten  k(x) = 1200/x + 90 - 3x + 0,05x²    (Unterscheidung  K und k !)

k'(x) = x/10 - 1200/x² - 3  ⇔  x³ /10 - 3x² - 1200  = 0

Die Bezeichnung "Stück" legt nahe, dass x_bmin ganzzahlig sein muss

k "(x) = 2400/x³ + 3/10 > 0 f.a. x>0  → k' ist linksgekrümmt

deshalb kann man mit einer Wertetabelle  38 < x_bmin < 39  finden:

k(38) = 79.77894736  <  k(39) =  k(79.81923076) 

Ansonsten bleibt nur:  

Cardanoformeln oder Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

→  x = (7000 - 4000·√3)^1/3 + (4000·√3 + 7000)^1/3 + 10

      x   ≈  38,21640164

            →  Betriebsoptimum (38 | 7977894736)

 c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum

    falsche Teilantwort gelöscht  (vgl. Kommentare)

e) Bestimmen Sie die totalen Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück.

  k(200) = 1496  [GE / Stück ]   

Im Bild muss es unten rechts "Betriebsoptimum "heißen.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

erstmal vielen Dank!

ich habe bei

c) Betriebsminimum ein Verfahren gesehen wo erst Kv(x) und dann kv(x) dann kv´(x) erechnet wird, geht das auch ?

Kv(x) = 90x-3x²+0,05x³

kv(x)=0,05x²-3x+90

kv´(x)=0,1x-3

kv´(x)=-30

d) habe ich

k(x) = 0,05x²-3x+90+1200/x

k´(x)=0,1x-3-1200x

k´(x)=399,97

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Sorry, habe in der Aufgabe die Begriffe Betiebsoptimum und -minimum vertauscht (korrigiert)

Ich habe mich hier an die Definition aus

https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebsoptimum

gehalten.

Da ist von variablen (Stück-)Kosten keine Rede.

Aber beim Betriebsminimum 

https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebsminimum

geht es um variable Stückkosten, deshalb war diese Teilanwort falsch. 

Habe sie deshalb gelöscht.

c) Dein

> kv´(x) = 0,1x-3    = 0

> kv´(x ) = 30 

ist richtig, wenn du 30  statt - 30  schreibst

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d)  

> k(x) = 0,05x²-3x+90+1200/x

k´(x) = 0,1x-3  -1200 x

[ 1200/x ] ' = -1200 / x²   

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Danke nochmal!

d)

k´(x)=0,1x-3-1200x

 = -1199,9x -3

1199,9x = -3   |:1199,9

=-2,50

das  wird nicht stimmen, was meinst du mit -1200/x² ?

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>  was meinst du mit -1200/x² 

Das ist der richtige Ableitungsterm von  1200/x  

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@fullthrotle: Was rechnest du denn da? Die Funktionen lauten: $$ K(x) = 1200 + 90x -3x^2 + 0.05x^3 $$ $$ k(x) = \dfrac{1200}{x} + 90 - 3x + 0.05x^2 $$ $$ k'(x) = -\dfrac{1200}{x^2} - 3 + 0.1x $$Die Nullstellensuche bei der letzten Funktion führt auf die Gleichung $$  x^3 - 30x^2 - 12000 = 0 $$mit der einfachen (mit \((-/+)\)-Vorzeichenwechsel) und einzigen reellen Lösung $$x \approx 38.21640164 $$ an der also \(k(x)\) ihr Minimum annimmt.

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@Gast az0815
danke!
aber wie hast du die

x³-30x³-1200=0

aufgelöst ?

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Steht in der Antwort:

Cardanoformeln oder Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Beides ist ohne Rechner recht aufwändig.

Aber die ganzzahlige Lösung findet man durch Probieren.