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ich  brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

gegeben ist: K(x) = 1200 +90x -3x²+0,05x³

b) Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten

K´(x) = 20  ?

c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum

d) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum

e) Bestimmen Sie die totalen Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück.

K(200) = 299200 ?

von

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo jc,

K(x) = 1200 + 90x - 3x+ 0,05x3 

 b) Bestimmen Sie die minimalen Grenzkosten

K'(x) = 90 - 6x + 0,15x2 = 0  (Grenzkosten)

K "(x) = 3·x/10 - 6 = 0   →  x = 20  mit VZW - → +  

              K'(20) = 30 [€/Stück]   → Grenzkostenminimum (20|30)    

d) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum  (Minimum der Stückkosten)

Stückkosten  k(x) = 1200/x + 90 - 3x + 0,05x2    (Unterscheidung  K und k !)

k'(x) = x/10 - 1200/x2 - 3  ⇔  x3 /10 - 3x2 - 1200  = 0

Die Bezeichnung "Stück" legt nahe, dass xbmin ganzzahlig sein muss

k "(x) = 2400/x3 + 3/10 > 0 f.a. x>0  → k' ist linksgekrümmt

deshalb kann man mit einer Wertetabelle  38 < xbmin < 39  finden:

k(38) = 79.77894736  <  k(39) =  k(79.81923076) 

Ansonsten bleibt nur:  

Cardanoformeln oder Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

 x = (7000 - 4000·√3)1/3 + (4000·√3 + 7000)1/3 + 10

      x   ≈  38,21640164

            →  Betriebsoptimum (38 | 7977894736)

 c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum

    falsche Teilantwort gelöscht  (vgl. Kommentare)

e) Bestimmen Sie die totalen Stückkosten bei einer Produktion von 200 Stück.

  k(200) = 1496  [GE / Stück ]   

Bild Mathematik

Im Bild muss es unten rechts "Betriebsoptimum "heißen.

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀

Hallo Wolfgang,

erstmal vielen Dank!

ich habe bei

c) Betriebsminimum ein Verfahren gesehen wo erst Kv(x) und dann kv(x) dann kv´(x) erechnet wird, geht das auch ?

Kv(x) = 90x-3x²+0,05x³

kv(x)=0,05x²-3x+90

kv´(x)=0,1x-3

kv´(x)=-30

d) habe ich

k(x) = 0,05x²-3x+90+1200/x

k´(x)=0,1x-3-1200x

k´(x)=399,97

Sorry, habe in der Aufgabe die Begriffe Betiebsoptimum und -minimum vertauscht (korrigiert)

Ich habe mich hier an die Definition aus

https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebsoptimum

gehalten.

Da ist von variablen (Stück-)Kosten keine Rede.

Aber beim Betriebsminimum

https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebsminimum

geht es um variable Stückkosten, deshalb war diese Teilanwort falsch.

Habe sie deshalb gelöscht.

c) Dein

> kv´(x) = 0,1x-3    = 0

> kv´(x ) = 30 

ist richtig, wenn du 30  statt - 30  schreibst

----------

d)  

> k(x) = 0,05x²-3x+90+1200/x

k´(x) = 0,1x-3  -1200 x

[ 1200/x ] ' = -1200 / x2   

Danke nochmal!

d)

k´(x)=0,1x-3-1200x

 = -1199,9x -3

1199,9x = -3   |:1199,9

=-2,50

das  wird nicht stimmen, was meinst du mit -1200/x² ?

>  was meinst du mit -1200/x² 

Das ist der richtige Ableitungsterm von  1200/x  

@fullthrotle: Was rechnest du denn da? Die Funktionen lauten: $$ K(x) = 1200 + 90x -3x^2 + 0.05x^3 $$ $$ k(x) = \dfrac{1200}{x} + 90 - 3x + 0.05x^2 $$ $$ k'(x) = -\dfrac{1200}{x^2} - 3 + 0.1x $$Die Nullstellensuche bei der letzten Funktion führt auf die Gleichung $$  x^3 - 30x^2 - 12000 = 0 $$mit der einfachen (mit \((-/+)\)-Vorzeichenwechsel) und einzigen reellen Lösung $$x \approx 38.21640164 $$ an der also \(k(x)\) ihr Minimum annimmt.

@Gast az0815
danke!
aber wie hast du die

x³-30x³-1200=0

aufgelöst ?

Steht in der Antwort:

Cardanoformeln oder Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Beides ist ohne Rechner recht aufwändig.

Aber die ganzzahlige Lösung findet man durch Probieren.

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