k-linear überprüfen und im Falle der Existenz solche k-lineare Abbildung Φ angeben

Question

Überprüfen Sie, ob es jeweils eine ¨K-lineare Abbildung Φ : V → W mit den angegebenen K-Vektorräumen V und W und den angegebenen Eigenschaften gibt. Geben Sie im Falle der Existenz eine solche K-lineare Abbildung Φ an und untersuchen Sie, ob dann diese K-lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist.

 (a) K = R, V = W = R 2 ; Φ ((1 1 )) = ( 2 1 ) , Φ (( 4 −1 )) = ( −1 3 ) , Φ ((10 0 ))= (2 6 ) .

ich habe jetzt nur mal a) weil ich gerne wissen würde wie ich jetzt die sache angehen soll..

Ich weiß, dass f(v+w) = f(v) + f(w) und k*f(v) = f(kv) gilt..

aber was ist v und was w?

Answer 1

Die Vektoren ( 1 1 )  ,  ( 4  -1 )  und  ( 10  0 ) sind lin abhängig  , weil

2*(1 1 )+ 2*( 4 −1 )    =(10 0 ).

Wenn es also eine Abb. gibt, ist sie eindeutig bestimmt, wenn Φ ((10 0 ))= (2 6 ) .

Wenn du das Bild von ( x  y ) haben willst, stelle zunächst ( x  y) mit

(1 1 )  und ( 4 −1 )   dar.

also    a * (1 1 ) + b * ( 4 −1 )  =  ( x  y)

gibt   a = (x-y) / 5   und   b = (x+4y)/5 .

also ist   Φ (x y )

 = Φ (      (x-y) / 5   * (  1  1 )    +        (x+4y)/5   *   ( 4  -1  )   )

 =   (x-y) / 5 *  Φ ((1 1 ))      +    (x+4y)/5   *   Φ (( 4 −1 ))    

=    (x-y) / 5 *   ( 2 1 )      +    (x+4y)/5   *  ( −1 3 )

= (  ( x-6y) / 5       ( 4x +11y )/5   )

Kontrolle  Φ ((10 0 ))= (2 6 ) .

Φ ((10 0 )) =  (  10/5    40/5  )  ≠   (2 6 )

Also gibt es eine solche Abb. nicht.

Comments

einfacher wäre natürlich gewesen

(wenn man ahnt, dass es die Abb. nicht gibt ) so:

Wenn Φ linear ist, gilt : 

Φ ((10 0 )) 

=Φ ( 2*(1 1 )+ 2*( 4 −1 )   )

= Φ ( 2*(1 1 )+        Φ ( 2*( 4 −1 )   )


= 2*Φ ( (1 1 )  ) +       2* Φ ( ( 4 −1 )   )

=  2*  ( 2 1 )    +    2 *  ( −1 3 )

= ( 2   8 )    ≠  (2 6 ) .   Widerspruch, also gibt es keine lin. Abb dieser Art.