Induktion bei P 45 (b) Partialsumme mit Logarithmus. S_(N) = ln( Summenzeichen_(n=0) xn) obere Grenze 2N+1 - 1.

Question

Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe P45 b)

Vollständige Induktion an sich versteh ich, aber wie man die Summe umformt leider nicht.

Wär toll wenn jemand helfen könnte! :)

Gruß Julius

Induktion bei P 45 (b) Partialsumme mit Logarithmus. S_(N) = ln( Summenzeichen_(n=0) xⁿ)  obere Grenze 2^N+1 - 1.

Answer 1

Hallo Julius,

Du weißt sicher dass $\ln(a) +\ln(b)=\ln(a \cdot b)$ ist. Damit ist auch $\sum \ln(a_n)=\ln(\prod a_n)$. Es reicht also, zu zeigen, dass

$$\prod_{n=0}^{N}1 + x^{(2^n)}=\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n$$

ist. Für $N=0$ ist $1+x=1+x$, damit ist der Induktionsanfang erfüllt. Der Induktionssschritt sähe jetzt so aus

$$\prod_{n=0}^{N+1}1 + x^{(2^n)}=\left(\prod_{n=0}^{N}1 + x^{(2^n)}\right)(1+x^{(2^{N+1})})=\left(\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n\right)(1+x^{(2^{N+1})})$$

$$\space = \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n +\left(\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n\right)x^{(2^{N+1})}= \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^{\left( n + 2^{N+1}\right)}$$

$$\space = \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=2^{N+1}}^{2^{N+1}-1+2^{N+1}} x^n= \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=2^{N+1}}^{2^{N+2}-1} x^n=\sum_{n=0}^{2^{N+2}-1} x^n$$

q.e.d.

Comments

Wow super verständlich und ausführlich erklärt vielen Dank!

Gruß Julius