Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz: INT x²e^{-2x} dx

Question

was heißt denn uneigentliches Integral und wie ist diese Aufgabe zu lösen? 

ich weiß nur, dass es einen Trick geben soll dies ohne zu Integrieren zu lösen?

mfg

Answer 1

ja man kann das auch ohne integrieren lösen, indem man die unendliche Summe betrachtet und auf Konvergenz untersucht.

$$ \int_{0}^{\infty}x^2e^{-2x}dx<\infty\Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}{n^2e^{-2n}}<\infty\\\text{Quotientenkriterium: }\\\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }=\frac { (n+1)^2 }{ n^2 }\frac { e^{-2n-2} }{ e^{-2n} }=\frac { (n+1)^2*e^{-2} }{ n^2 }\to e^{-2}<1 $$

Also konvergieren sowie Reihe als auch Integral.

Mir fällt gerade ein noch  einfacherer Weg ein: es ist x^2<e^{x} für große x, daher 

steht im Integranten dann abgeschätzt ... <e^{x}*e^{-2x}=e^{-x} und dieses Integral konvergiert.

Comments

oo nein nicht schon wieder diese Kriterien... aber eyy viel besser als die scheisse zu integrieren...es ist mir gleich aufgefallen dass es ohne integrieren geht, da die aufgaben sehr schwer zu integrieren sind mit doppelt und dreifacher Partieller Integration usw. mit sehr komischen sin cos Standardintegralen.. (also csc ctang oder ctg keine Ahnung usw.)  

Answer 2

was heißt denn uneigentliches Integral --> siehe hier

https://de.serlo.org/mathe/artikel-und-videos-aus-serlo1/uneigentliches-integral

also , Du kannst die Aufgabe durch 2-  maliges  partielles Integrieren lösen.

Lösung:

=-1/4 e^{-2x} (2 x^2+2x+1)

Dann mußt Du noch einen Grenzübergang machen.

Lösung :=1/4

Comments

danke dir... aber in dieser aufgabe soll ich einfach nur auf konvergenz untersuchen und nicht die Grenze bestimmen.