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Hey ne Idee wie diese Aufgabe geht?

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x }  } -\frac { 1 }{ sin(x) } dx$$

uneigentlich weil ich ja keine 0 einstezen kann, da 1/0 nicht definiert ist.

Wie gehe ich also vor?


Danke im Vorraus.

Gefragt von

ist die Aufgabe schon fertig?

Die Aufgabe ist fast fertig, wenn du den Grenzwert ausrechnen kannst, den Gast jc2144 in seiner Antwort vorgeschlagen hat. Grund: Im fraglichen Intervall ist f(x) =  (1/x - 1/sin(x)) nur für x=0  nicht definiert. 

Das sollte funktionieren: 

Graph des Integranden: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Fx+-+1%2Fsin(x)) 

Bild Mathematik

Ausserdem solltest du dann noch erwähnen, dass der Integrand f(x) =  (1/x - 1/sin(x))  im betrachteten Intervall stetig und überall definiert ist. Dann weisst du, dass der Integrand im angegebenen Intervall beschränkt ist. 

Sei nun S eine obere Schranke von |f(x)| 

==> Der Betrag des fraglichen Integrals ist kleiner oder gleich (Maximale Abweichung von 0)*(Intervallbreite)  =  S * 1 = S

lim (1/x - 1/sin(x))     | Bruchsubtraktion

= lim ((sin(x)-x)/(xsin(x)) 

.....  ? vielleicht klappt es mit 2 fach Hospital? 

danke ich werds mal probieren

1 Antwort

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Hallo,

zeige, dass 

$$ \lim_{x\to0}\frac { 1 }{ x }-\frac { 1 }{ sin(x) }=0 $$

Die Funktion ist somit beschränkt und stetig auf [0,1], daher existiert dass uneigentliche Integral.

Beantwortet von 20 k

Also das ist ja klar... aber wie komm ich auf die konvergenz? 

sollte ich das erstmal integrieren?

also 1/0 dx von 0 bis 1 für sich und - arcsin(x) von 0 bis 1 für sich?

und dann obere - untere grenze und dann ich das ergebnis die Lösung?

Satz: Eine beschänkte stetige Funktion f : [a, b] → R ist integrierbar.

Das Integral brauchst du nicht auszurechnen, der Wert ist nicht gefragt.

ok also ich hab soweit: 

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x } dx-\int _{ 0 }^{ 1 }{ arcsin(x)dx }  } = \int _{ r}^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x } dx-\int _{ r}^{ 1 }{ arcsin(x)dx }  } $$

$$={ \left[ ln(x) \right]  }_{ r }^{ 1 }-{ \left[ ln(arcsin(x)+cot(x) \right]  }_{ r }^{ 1 }$$

was nun?

hmm.. egal hatte ich schon gemacht (hab ca ne stunde gebraucht)... xD

ist die Aufgabe schon fertig?

Wenn Du begruenden kannst, warum $$\lim_{a\to0+}\int_a^1\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)\,dx$$ existiert, dann schon.

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