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$$\int_{0}^{1} \! \frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)} \, dx$$

ich habe erstmal sin(x) als taylorreihe eingesetzt.

$$\int_{0}^{1} \! \frac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} } \, dx$$

danach habe ich beide auf den selben nenner gebracht und etwas zusammengefasst.
$$\int_{a}^{b} \! \frac{-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} }{x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}} \, dx$$

nun muss ich glaub ich so kürzen bzw. majorantenkriterium anwenden, so dass das kommt:
$$\int_{0}^{1} \! \frac{1}{x^{\alpha}} \, dx$$

und α muss ja < 1 sein, damit das ganze konvergiert, da wir von 0 bis 1 integrieren?

mfg

PS: ich habe das noch wo anders gepostet aber da kommt seit stunden keine antwort...

von

schon geklärt...

1 Antwort

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entwickle den ganzen Bruch:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{1}{x}-sin(x)^{-1}\approx\frac{1}{x}-(x-x^3/6)^{-1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}*(1-x^2/6)^{-1}\approx\frac{1}{x}-\frac{1}{x}*(1+x^2/6)=x/6$$

Es ist also lim x-->0 f(x)=0, die Funktion ist integrierbar.

von 36 k

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