Also ganz rationale funktion 3. Grades ist gleich ax³+bx²+cx+dx
Ein x zuviel
f ( x ) = a * x^3 + b * x ^2 + c * x + d
sie geht durch den Ursprung das heißt
f ( 0 ) = 0
f ( 0 ) = a * 0^3 + b * 0 ^2 + c * 0 + d = 0 => d = 0
f ( x ) = a * x^3 + b * x ^2 + c * x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´( x ) = 6 * a * x + 2 * b
sie hat bei x=1 ein Maximum das heißt
f ´( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 3 * a * 1^2 + 2 * b * 1 + c = 0
3 * a + 2 * b + c = 0
bei x=2 hat sie eine Wendestelle
f ´´ ( 2 ) = 0
f ´´( 2 ) = 6 * a * 2 + 2 * b = 0
12 * a + 2 * b = 0
außerdem schließt sie mit der X-Achse über
dem Intervall [0;2] eine Fläche vom Inhalt 6 ein.
Integralrechung
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ f ( x ) dx
S ( x ) = ∫ a * x^3 + b * x ^2 + c * x
S ( x ) = a * x^4 / 4 + b * x^3 / 3 + c * x^2 / 2
Fläche
[ S ( x ) ] zwischen 0 und 2
A ( x ) = S ( 2 ) - S ( 0 )
A ( x ) = a * 2^4 / 4 + b * 2^3 / 3 + c * 2^2 / 2 = 6
4 * a + 8 / 3 * b + 2 * c = 6
Insgesamt
3 * a + 2 * b + c = 0
12 * a + 2 * b = 0
4 * a + 8 / 3 * b + 2 * c = 6
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Soviel zunächst.
