Analysis. Gleichung einer ganzrationalen Funktion zu Graphen erstellen

Question

ich kann zwar die markanten Punkte aus dem Graphen erkennen, weiss jedoch nicht wie ich sie in die Gleichung einsetze?

Bitte um Hilfe

Answer 1

Bei x = -1 liegt eine einfache Nullstelle vor und bei x = 2 eine doppelte. Der y-Achsenabschnitt ist 2.
Ansatz: ƒ(x) = k·(x + 1)·(x - 2)² mit geeignetem Streckfaktor k, der sich aus 2 = ƒ(0) = k·1·(-2)²  zu k = \(\frac12\) berechnet.

Answer 2

Der Graph zeigt eine Funktion 3.Grades.
Dafür spricht
- 1 Hoch- und Tiefpunkt
- 1 Wendepunkt
- punktsymmetrisch zum Wendepunkt

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 2  => d = 2

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 2
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

Kurzschreibweise
f ( -1 ) = 0
eingesetzt
f ( -1 ) =  a * (-1)^3 + b * (-1)^2 + c * (-1) + 2 = 0
-a + b  - c  + 2 = 0

f ´( -1 ) = 0
f ( 2 ) = 0
f  ´ ( 2 ) = 0
f ´´ ( 1 ) = 0  | Wendepunkt

Gleichungssystem aufstellen
und berechnen.

Comments

Hinweis
Aus den beiden Ableitungen ergibt sich c = 0
Dann die Ausgangsfunktionen :
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen.

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Korrektur

f ( -1 ) = 0
f ( 0 ) = 2
f ´( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 0
f  ´ ( 2 ) = 0

eingesetzt

dadurch ergeben sich
d = 2
c = 0

Dies eingesetzt ergibt
b - a + 2 = 0
8a + 4b + 2 = 0
12a + 4b = 0

a = 1/2
b = -3/2

f ( x ) = 1/2 * x^3 - 3/2 * x^2 + 2

Die Lösung wurde graphisch überprüft
und ist korrekt.