0 Daumen
661 Aufrufe

Untersuchen Sie die Funktion

f(x,y)= 1/3 x3 y - x3 - xy + 3x + y2 - 6y


auf Extremwerte und Sattelpunkte.

von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo MatheERSTI,

zunächst brauchst du die 1. partiellen Ableitungen:

fx  =  x^2·(y - 3) - y + 3  =  x^2·(y - 3) - (y - 3) =  (y-3) * (x^2 - 1) 

fy  =  x^3 /3 - x + 2·y - 6  

Das Gleichungssystem

fx = 0   und  fy = 0   

ergibt die kritischen (stationären) Punkte

 ( - √3 | 3)  ;   (√3 | 3)  ;  (-1 | 8/3)  ;  (1 | 10/3)  ;  ( 0 | 3)    

Jetzt benötigst du die zweiten partiellen Ableitungen:

fxx  =  2·x·(y - 3)

fxy  =   x^2 - 1

fyy  =  2   

Mit diesen kannst du dann jeden kritischen Punkt einzeln durch Einsetzen überprüfen.

Aus der Determinante der Hessematrix (#) ergibt sich:  

  fxx • fyy - fxy2    > 0 → Extrempunkt 

                         <  0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung mit Hessematrix (#)

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

----------

(#)  https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Gruß Wolfgang

                              

von 85 k 🚀
0 Daumen
von 13 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community