Banachscher Fixpunktsatz am Beispiel des babylonischen Wurzelziehens

Question

Bitte Hilfe. Ein Lösungsweg oder ein Ansatz wäre sehr hilfreich.

Answer 1

a)   f( √a) = 0,5 * ( √a   +  a / √a  ) 

= 0,5 * ( √a   +  √a  ) 

=0,5 * 2 √a  

=  √a 

Also √a    ein Fixpunkt .

Comments

Für b) hätte ich auch noch nen Tipp:

Mittelwertsatz:   |f(x)-f(y)|  =  f ' (t) *   |x-y|

und für t aus [ .....  ] gilt (da alles positiv ist kann man ja quadrieren)

3a / 4   ≤  t²  ≤  4a / 3

4/3a   ≥     1 /  t²       ≥  3 / 4a 

4/3     ≥     a /  t²       ≥  3 / 4    | * -1


- 4 / 3  ≤     - a / t²  ≤    - 3 / 4  | +1

- 1 / 3  ≤   1  - a / t²  ≤    1 / 4

also ist q = 1/3 die gesuchte Schranke für

|  1  - a / t²  |   =   | f ' (t) | .