Zu zeigen ist: f injektiv <= f streng monoton

Question

ich muss zeigen, dass f: ℝ → ℝ : Ist f streng monoton, so ist f injektiv.

Wie Beweis ich das. Bitte mit Erklärung.

Comments

EDIT: Beachte.

" ich muss zeigen, dass f: ℝ → ℝ : Ist f streng monoton, so ist f injektiv.  "

ist nicht dasselbe wie dein Äquivalenzpfeil in der Überschrift.

Für die andere Richtung musst du mehr über f voraussetzen.

Habe die andere Pfeilrichtung in der ursprünglichen Überschrift entfernt.

Ursprünglich hattest du " Zu zeigen ist: f injektiv <=> f streng monoton " 

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leider weiß ich hier nicht weiter. Jemand eventuell eine Idee, wie man das löst?

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EDIT: Dieses Bild habe ich gestern und vorgestern schon gesehen. Suche bitte erst mal gründlich.

https://www.mathelounge.de/445431/zu-zeigen-ist-f-injektiv-f-streng-monoton 

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Übrigens: b) musst du auch nicht nochmals einstellen: https://www.mathelounge.de/446097/monotonie-und-stetigkeit-f-x-%E2%88%9A-x

Answer 1

Hallo JE,

Voraussetzung:  

           Für alle a,b ∈ ℝ  gilt: a < b  ⇒   f(a) <  f(b)    (⇔ f ist streng monoton steigend )

oder    Für alle a,b ∈ ℝ  gilt:  a < b  ⇒   f(a) >  f(b)    ( ⇔ f  ist streng monoton fallend )

Zu zeigen:           Für alle a,b ∈ ℝ  gilt:  a ≠ b  ⇒   f(a) ≠ f(b)     ( ⇔ f ist injektiv )

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Seien also a,b ∈ ℝ

           a ≠ b   ⇔  a < b oder a > b

also gilt nach Voraussetzung:   f(a) <  f(b)  oder  f(a) >  f(b)

               ⇒     f(a) ≠ f(b)  

Gruß Wolfgang