Ober- und Untersumme von f(x)=x berechnen

Question

Servus..


ich muss die Ober und UNTERSUMME VON F(X)=x ausrechnen
weiß aber nicht wie das gehen soll ?


die rechtecke zum berechnen der ober u. untersumme haben die anzahl "N"
jetzt die frage: wie ist diue rechnung ??


danke schonmal

Answer 1

Hi,

das ist total easy. Du musst einfach nur die Balken hinmalen und deren Fläche zusammenaddieren.

MfG

Mister

Comments

so weit bin ich auch..


aber es sollen ja "n" - balken sein also keine genaue anzahl .. und ich soll es per formel berechnen und leider nicht nur hinmalen und ablesen..

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Dazu muss man noch wissen, in welchen Grenzen (auf der x-Achse) du die Ober- und Untersumme berechnen sollst.

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Von 0 bis 1

        .


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Dann beträgt die Fläche der Obersumme

O = (n (n+1)) / 2

und die der Untersumme

U = (n (n-1)) / 2.

Auf diese Idee kommt man, wenn man das Quadrat 1 x 1 in N x N kleine Quadrate aufteilt und sich überlegt, wieviele Quadrate davon die Fläche der Ober- und wieviele die Fläche der Untersumme einnehmen.

Man kann aber auch zum Test zum Beispiel mal N = 5 nehmen und dann versuchen, für beliebige N zu verallgemeinern. Oder N = 5, 7, und 9 zum Beispiel separat hinmalen und den Unterschied erkennen, bzw. das Prinzip durchschauen, usw. ...

MfG

Mister

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wichtig ist ..... das die obersumme stehts größer ist wie die untersumme ..... da du bei der untersumme bei 0 anfängst und bei n-1 endest bei obersumme demnach von 1 bis n

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@mister


wenn du mir jetzt noch die Rechnung geben kannst wie du da drauf gekommen bist ist es perfekt ;)

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Naja, ich hab's ja schon beschrieben. Man kann sich das geometrisch vorstellen. Mehr hab' ich auch nicht gemacht.

Answer 2

Annahme die Grenzen sind a und b und es gilt 0<a<b.

Nun haben die Rechtecke die Breite (b-a)/N

Für die Untersumme gilt:

U_N = (b-a)/N (f(a) + f(a + (b-a)/N) + f(a + 2(b-a)/N) + ...... f(a + (N-1)(b-a)/N) )

Da f(x) = x: In der grossen Klammer die f alle weglassen.

 

U_N = (b-a)/N (a + a + (b-a)/N + a + 2(b-a)/N + ......+ a + (N-1)(b-a)/N )

U_N = (b-a)/N (Na  + (1+2+...+(N-1))(b-a)/N  )

Eine Klammer enthält eine arithmetische Reihe.  (1+2+...+(N-1)) = N(N-1)/2

U_N = (b-a)/N (Na  + (N(N-1)/2)(b-a)/N  )

N kürzen, 2 verschieben

U_N = (b-a)/N (Na  + (N-1)(b-a)/2  )

U_N = (b-a)/N (Na  + Nb/2 - Na/2 - b/2 + a/2  )

N verschieben

U_N = (b-a) (a  + b/2 - a/2 - b/(2N) + a/(2N)  )

U_N = (b-a) (a/2  + b/2  - b/(2N) + a/(2N)  )

1/2 vor die Formel

U_N = 1/2  (b-a) (a  + b - b/(N) + a/(N)  )      Fertig. 

O_N im gleichen Stil noch selbst erstellen.

Kontrolle: Für N--> unendlich 

F = 1/2 (b-a)(a+b) = 1/2 b^2 - 1/2 a^2      

Das entspricht der Formel, die man beim bestimmten Integral braucht.

Comments

Zur Kontrolle: 

O_N = (b-a)/N ( f(a + (b-a)/N) + f(a + 2(b-a)/N) + ...... f(a + (N-1)(b-a)/N) + f(a + N(b-a)/N )

Da f(x) = x: In der grossen Klammer die f alle weglassen.

O_N = (b-a)/N (a + (b-a)/N + a + 2(b-a)/N + ......+ a + (N-1)(b-a)/N + a + N(b-a)/N )

O_N = (b-a)/N (Na  + (1+2+...+N)(b-a)/N  )

Eine Klammer enthält eine arithmetische Reihe.  (1+2+...+N) = N(N+1)/2

O_N = (b-a)/N (Na  + (N(N+1)/2)(b-a)/N  )

N kürzen, 2 verschieben

O_N = (b-a)/N (Na  + (N+1)(b-a)/2  )

O_N = (b-a)/N (Na  + Nb/2 - Na/2 + b/2 - a/2  )

N verschieben

O_N = (b-a) (a  + b/2 - a/2 + b/(2N) - a/(2N)  )

O_N = (b-a) (a/2  + b/2  + b/(2N) - a/(2N)  )

1/2 vor die Formel

O_N = 1/2  (b-a) (a  + b + b/(N) - a/(N)  )