Untersuchen, ob eine Funktion auf einem angegebenen Intervall ein Minimum oder ein Maximum besitzt. f(x)=1/(1+x^2)

Question

 

Ich muss untersuchen, ob diese stetige Funktion auf dem angegebenen Intervall ein Minimum oder ein Maximum besitzt.

Wie mache ich das genau? Bitte um eine schrittweise Erklärung.

Answer 1

Hallo mateuzs,

f(x)  =  1 / (x^2 + 1)     x ∈ (0,1)

f '(x)  =  - 2·x / (x^2 + 1)^2      (Quotienten- oder Kettenregel)

f '(x)  =  - 2·x / (x^2 + 1)^2  = 0   ⇔   x = 0  [ ∈  (0,1)  mit VZW  von f ' von  -  → + ]  

x = 0 ist also lokale Maximumstelle

f(0) = 1 >  f(1) = 1/2 

also ist  x = 0  eine absolute (globale)   Maximumstelle  

Gruß Wolfgang

 

Answer 2

f(x) = 1/(x^2 + 1)

f'(x) = - 2·x/(x^2 + 1)^2

Der Nenner ist immer positiv und der Zähler immer  kleiner oder gleich 0. Damit ist der Graph im Intervall monoton fallend und es gibt in  dem Intervall ein Minimum und ein Maximum.

Die Ableitung wird allerdings bei x = 0 auch 0 damit hätten wir um die Stelle 0 ein lokales Maximum.