Zeigen Sie, dass f auf K Maximum und Minimum besitzt, und bestimmen Sie max f(K) und min f(K).

Question

Aufgabe:

Sei f : R² → R gegeben durch
f(x, y) := x² + y² + xy + x + 5y,
und sei K := {(x, y) ∈ R²: x² + y² + xy = 1}.
Zeigen Sie, dass f auf K Maximum und Minimum besitzt, und bestimmen Sie max f(K) und min f(K).

Problem/Ansatz:

Ich bin mir total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll. Wäre cool, wenn jemand das lösen könnte :)

Answer 1

Hallo,

um zu zeigen, dass ein Maximum und Minimum auf $K$ exisitiert, musst du zeigen, dass $K$ kompakt ist. Da $K\subset \mathbb{R}^2$, musst du nach Heine-Borel nur zeigen, dass $K$ abgeschlossen und beschränkt ist. Daraus folgt dann schon die Kompaktheit.

Zur Abgeschlossenheit:$$K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \underbrace{x^2+y^2+xy}_{=:f(x,y)}=1\}=f^{-1}(\{1\})$$ Damit ist $K$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{1\}$ unter der stetigen Funktion $f$  abgeschlossen.

Zur Beschränktheit: 

Die Ellipse $x^2+y^2+xy=1$  ist vollständig in $\overline{B_2(0,0)}$ enthalten. Damit beschränkt.

Insgesamt folgt die Kompaktheit und damit nach dem Satz vom Maximum und Minimum die Existenz eben jener.

Was nun folgt, ist eine Aufgabe mit dem Lagrange-Optimierungsverfahren. Wie würdest du hier beginnen?