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Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, geben Sie den Grenzwert an.

Bild Mathematik


Bedanke mich für jede Hilfe im Voraus.

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Diese Aufgabe findest du auch bei den Fragen der letzten Tage. (mehrfach) ;)

1 Antwort

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Der Grenzwert $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|}{4-x^2}$$ existiert genau dann, wenn $$\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{|x-2|}{4-x^2}$$

Es gilt dass |x-2|=x-2 für x-2≥0, also x≥2 und  |x-2|=-(x-2) für x-2<0, also x<2

Wir haben folgendes

$$\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-(x-2)}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-x+2}{(2-x)(2+x)}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{1}{(2+x)}=\frac{1}{4}$$

$$\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{x-2}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-(-x+2)}{(2-x)(2+x)}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-1}{(2+x)}=-\frac{1}{4}$$


Davon folgt es dass der Grenzwert nicht existiert.

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