Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, geben Sie den Grenzwert an. |x-2|/(4-x^2)

Question

Überprüfen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, geben Sie den Grenzwert an.

Bedanke mich für jede Hilfe im Voraus.

Comments

Diese Aufgabe findest du auch bei den Fragen der letzten Tage. (mehrfach) ;)

Answer 1

Der Grenzwert $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|}{4-x^2}$$ existiert genau dann, wenn $$\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{|x-2|}{4-x^2}$$

Es gilt dass |x-2|=x-2 für x-2≥0, also x≥2 und  |x-2|=-(x-2) für x-2<0, also x<2

Wir haben folgendes

$$\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-(x-2)}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-x+2}{(2-x)(2+x)}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{1}{(2+x)}=\frac{1}{4}$$

$$\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{|x-2|}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{x-2}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-(-x+2)}{(2-x)(2+x)}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{-1}{(2+x)}=-\frac{1}{4}$$

Davon folgt es dass der Grenzwert nicht existiert.