Gamma Funktion und Integral berechnen. Integral 0 bis unendlich e^ ((-x)^{a})dx

Question

Ich soll untersuchen für welche Konstante a das folgende Integral konvergiert

Integral 0 bis unendlich e^ ((-x)^{a})dx

Man muss die Gammafunktion anwenden. Ich habe t=xa gesetzt und --> dt=a*x^{a-1}.

Dann erhalte ich das Integral e^ ((-x)^{a})*a*x^{a-1}dx

=a*Integral e^ ((-x)^{a})*x^{a-1}dx

Das ähnelt jetzt schon der Gammafunktion aber ich weiß leider nicht wie ich weitermachen muss.

Comments

EDIT: Die Caret-Umwandlung kann mit Klammern innerhalb von Exponenten leider nichts anfangen.

Daher habe ich dein Integral 0 bis unendlich e^{(-x)^{a}}dx durch Integral 0 bis unendlich e^ ((-x)^{a})dx ersetzt. Also einen Abstand nach dem Caret-Zeichen eingefügt.

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Ich hab die gleiche Aufgabe bin mir aber auch nicht sicher. Hab sie aber anders gemacht wie du.

Substitution t=x^a --> dt=a*x^(a-1) dx --> dx=1/(a*t)*t dt

Damit Integral e^-t*1/a dt= 1/a *Integral e^-tdt= 1/a*Γ(1/a,x^a), da 1/a*Integral t^a*(1/a)*e^-t dt

Wäre super wenn das jemand anschauen könnte und uns weiterhelfen bzw. einen Tipp geben könnnte

Answer 1

Es geht ja wohl um  ∫ 0 bis ∞ über exp ( -x^a ) dx  ; denn das "minus " steht ja vor der Potenz .


Da scheint mir der Ansatz Substitution t=x^a   schon ganz ok.

--> dt=a*x^(a-1) dx -->

dx=( 1/(a*x^(a-1) )    ) dt   = (1/a) * x^(1-a) dt

  Damit es für x=0 auch t=0 ergibt , muss wohl a > 0 gelten.


Und für x gegen ∞ hat man dann auch  t gegen ∞ und das Integral:

 I =  ∫ 0 bis ∞ über exp ( -t )  (1/a) * x^(1-a) dt

wegen t=x^a    ist  x = t^1/a   also

I =    ∫ 0 bis ∞ über exp ( -t )  (1/a) * t^(1-a)/a dt  

=   ∫ 0 bis ∞ über exp ( -t )  (1/a) * t ^{- (a-1)/a} dt  

=   ∫ 0 bis ∞ über exp ( -t )  (1/a) * t ^{- (1-1/a)} dt  

=   (1/a) ∫ 0 bis ∞ über exp ( -t )  * t ^{1/a - 1}  dt  

= 1/a*Γ(1/a).