Berechnen Sie das Integral - Ich kann den Ausdruck nicht korrekt integrieren.

Question

Wahrscheinlich liegt der Fehler in der ersten Zeile

$$\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x+3 } dx\quad =\quad (x+3)^{ -1 } } =\quad x^{ -1 }+3^{ -1 }\\ =\quad \left[ \frac { 1 }{ x } *x+\frac { 1 }{ 3 } *x \right] \overset { 2 }{ \underset { 0 }{  }  } \\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } *2+\frac { 1 }{ 3 } *2\quad -\quad (0)\\ =\quad 1\quad +\quad \frac { 2 }{ 3 } \quad \\ =\quad \frac { 5 }{ 3 } \\ $$

Comments

Es kann nicht rochtig sein weil ich 1/0 rechnen muss und das ist mir strange vorgekommen

Answer 1

Hi limonade,

Du hast es direkt erkannt :).

Erinnere Dich an das vorherige Potenzgesetz: (ab)^d = a^d b^d

Wenn Du aber kein Produkt vorliegen hast, sondern eine Summe, dann gilt obige Potenzregel nicht mehr (denke an die binomische Formel).

Entweder weißt Du direkt, dass Du hier den ln anwenden darfst, oder Du subst. x+3 = u und wendest dann den ln an :).

Schaffst Du es alleine? Probiers mal.

Grüße

Comments

ln(x) kann ich nicht anwenden, darf ich bei einer Summe die Binomische Formel folgendermassen anwenden? Trotzdme kommt es mir ungewohnt vor.
 

$$\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x+3 } dx\quad =\quad (x+3)^{ -1 } } \\ =\quad x^{ -1 }+-3x+3^{ -1 }\\ =\frac { 1 }{ x } -3x+\frac { 1 }{ 3 } \\ =\left[ \frac { 1 }{ x } x-\frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } x \right] \\ =\frac { 1 }{ 2 } 2-\frac { 3 }{ 2 } 2^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } 2\quad -\quad \left( \frac { 1 }{ 0 } 0-\frac { 3 }{ 2 } 0^{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 } 0 \right) \\ =\quad 1-\frac { 12 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 3 } \\ =\quad 1\quad -6\quad +\frac { 2 }{ 3 } \\ =\quad -13/3$$


 Oder wann ist es der ln(x)?

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Hmm um den ln wirst Du hier kaum rumkommen.

Das mit dem Summe aufdröseln wird nicht funktionieren.

Du darfst wissen, dass ∫ f'(x)/f(x) dx = ln(f(x)) + c ist.

Folglich bei uns: F(x) = ln(x+3)|_0^2

Alternativ solltest Du in jedem Falle wissen, dass ∫1/x dx = ln(x) + c ist. Demnach kannst Du auch x+3 = u setzen und dann mit ∫1/u du = ln(u) + c weiter fortfahren.

Alles klar? Zur Kontrolle: -> ln(5/3)

Bin mal Mittagessen. Wenn noch was unklar ist, bin ich danach wieder da :)

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Also ich glaube ich habe hier schon mal was mithilfe der Formelsammlung herausgefundnen

$$\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x+3 } dx\quad =\quad ln(x+3) } \\ $$

ist aber jetzt schon das ln(x+3) die Stammfunktion?

Dann wären nur noch die 2 und die 0 einzusetzen, oder?

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Genauso ist es :).

Dann bekommst Du ja:

ln(5) - ln(3) = ln(5/3)

nach den Logarithmengesetzen.

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Letzte frage, wenn jetzt

f(x) = 1/ (3x + 3) wäre

Wäre dann F(x) 3*ln(x+3)

?

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Die Frage lautet eigentlich, wie verhält sich das, wenn vor dem x noch ein koeffizient steht der ungleich 1 ist :)

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Nicht ganz.

f(x) = 1/ (3x + 3) = 1/3*1/(x+1)

F(x) = 1/3*ln(x+3) +c

Du musst also immer die Form f'(x)/f(x) hinbekommen. Gerne konstante Faktoren voranziehen, wie hier das 1/3 :).